2.1.9 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
fs ? fs (u ,u?)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。
?运动方程是进行结构动力分析的基础 ?运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
本章首先通过对简单结构体系 (单自由度体系 )的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程 的方法，然后介绍更复杂的 多自由度体系 运动方程的 建立。
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单自由度体系 ： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton ）第二定律 ◆ D'Alembert 原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton 原理 ◆ Lagrange 方程
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移 (包括速度和加速度 )关系 的数学表达式。 （有时也称为动力方程）
虚位移 ： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组 微小位移，称为体系的虚位移。
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2.1 基本概念
2.1.4 广义力
略??????
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2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力 ：大小 等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI ? mu??
I — 表示惯性 （Inertial）； m— 质量（mass）； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
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2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring ）
对弹性体系， 弹簧的恢复力 也被称为弹性恢复力 弹性恢复力 ：大小等于弹簧刚度与位移 (弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ? ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧（Spring） c
(a)
k— 弹簧的刚度 （Spring Stiffness ）
u— 质点位移
(b)
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2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k?
24EIc h3
?6? 6?
? ?
1 4
;
? ? hIb / LIc
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD ? cu?
fD
u fD
D — 表示阻尼（Damping）
(a)
uc?——
阻尼系数（Damping 质点的运动速度
coefficient）
fD c
1 u
(b)
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2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定：
不能像结构刚度 k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得，因为 c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中 最为简单的一种。
其它常用的阻尼 ：
摩擦阻尼 ：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼 ：阻尼力大小与位移成正比 (相位与速度相同 )； 流体阻尼 ：阻尼力与质点速度的平方成正比。
滞变阻尼 ——时滞阻尼——复阻尼
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2.1 基本概念
2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系 ：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系 ：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
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2.1 基本概念
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2.1 基本概念
2.1.2 功和能 ?功的定义 ?有势力和势能 ?动能
略??????
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2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移 ： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能ห้องสมุดไป่ตู้移。
实位移 ： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F ? ma
F ? p(t) ? fD ? f s
单质点体系的受力分析
ma ? fD ? f s ? p(t)
a ? u?? fD ? cu? fs ? ku
h—框架结构的高度 L—梁的长度
?? ?:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
?? 0:
k
?
24EIc h3
k
?
6EIc h3
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2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源 （物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
基本动力体系 ： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
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基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
结构动力学
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结构动力学
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 功和能 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 弹簧的恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系
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