第十六章结构动力学【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。
图16-6【解】各刚架的自由度确定如图中所示。
这里要注意以下两点：1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。
根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。
2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。
【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。
对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。
设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。
把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则)(R I y P D I P +δ+∆=∆+∆+∆=式中，)t (q EI 38454P =∆，EI483=δ。
将它们代入上式，并注意到ym I -=，y c R -=，得)(48)(384534y c y m EIt q EI y --+=图16-7经整理后可得)(t P ky y c y m E =++式中，3EI 481k =δ=，)(85)(t q k t P P E =∆= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。
其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。
图a 的相当体系如图f 所示。
【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和3m质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。
【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。
这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本量，而其它一切位移均可利用它来表示。
图16-8)t (α以顺时针向为正。
则A 点有位移)t (2α 和加速度)t (2α；D 点有位移)t (23α和加速度)t (23α 及速度)t (23α ；C 点约束反力为)t (k Rc α= 。
由∑=0MB，有043)(232323221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯t q R R I I C 将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得043)t (q 23)]t (k [23)]t (c 23[23)]t (3m 23[2)]t (m 2[2=⨯+⨯α-⨯α-⨯α-⨯α-经整理，运动方程为)t (q 89)t (k )t (c 49)t (m=α+α+α小结：• 例16-2及例16-3讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建立。
建立方程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调。
一般来说，对于单自由度体系,求11δ和11k 的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可用同一方法求得。
对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对超静定结构就要根据情况而定。
• 刚度法和柔度法。
它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论在体系上加惯性力和阻尼力。
刚度法是考虑质量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件。
• 所谓结构振动自由度是指：确定体系全部质点位置所需的独立位移分量的个数。
在例16-3中我们选取)t (α为独立位移分量，由此得两质点处的位移、加速度及惯性力的表达式。
• 体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关，又不完全取决于质点数目，自由度还和体系的可能位移状态有关（如例题16-3），因此要根据具体问题，按自由度定义分析确定。
另一方面，自由度是确定质点空间位置的独立坐标（位移分量）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。
• 任何单自由度的振动问题，本质上都可抽象为质点、弹簧、阻尼器体系。
从实际结构到抽象模型的关键是求m 和k （或δ）。
【例16-4】试 写 出 图 16-9a 质 点 m 的 运 动 微 分 方 程 ， 并 计 算 各 系 数 。
图16-9 【解】(1) 列位移方程, )()()(1111t Q t P y m y Q P ∆+∆+-=δ (2) 计算系数项(图b) ， EI a a a a EI342322211311=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=δ (3) 计算自由项(图c,d )EI Pa a a a a Pa a a Pa EIP1211632/2212123222121131=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∆ 同理， EIQa Q121131=∆ (4) 将 系 数 代 入 位 移 方 程 ，)(1211)(121134333t Q EIat P EIay ym EIa+=+或)(1611)(1611433t Q t P y aEI y m +=+【例16-5】 试 按刚度法列 出 图 16-10a 所示 刚 架 在 给 定 荷 载 作 用 下 的动 力 平 衡 方 程 。
图16-10 【解】( 1 ) 考 虑 质 点 m 平 衡 (图b) 有I S = , ym I -= (2) 确 定 弹 性 力 恢 复 力 S ,弹 性 力 恢 复 力S 可 以 认 为 由 两 部 分 叠 加 而 成 。
第 一 部分 为 使 m 产 生 位 移 施 加 的 力11R ； 第 二 部 分 为 m 不 动 在 荷 载 作 用 下 产 生 的 反 力 P R 1 , 即 P R R S 111+= ,()y a l a EIy k R +==211113 , ()a l a t ql R P +=8 sin 31θ( 3 ) 代 回 动 力 平 衡 方 程 得 ，()()a l a tql y a l a EI y m +=++8 sin 332θ【例16-6】 图 16-11a 所示梁不计自重 ，求 自 振 频 率 ω 。
图16-11【解】由M 图（图b ），求得柔 度 为：EI l 192/53=δ 。
所以， 35/1921Wl EIg mg gm =δ=δ=ω 【例16-7】 图 16-12a 所示 单 跨 梁 不 计自重 ，杆 无 弯 曲 变 形 ，弹 性 支座 刚 度 为 k ，求 自 振 频 率 ω 。
图16-12【解】在 W 处 加 )4/(1,)2/(1,111k k P =δ=∆=()W mg gm /kg 411111=δ=δ=ω 。
【例16- 8】 图 16-13a 所示梁不计自 重 ，24m kN 102,kN 200⋅⨯==EI W ，求 自 振 圆频 率 。
【解】由于对称跨中无转角 ，求刚度k 。
2/321212331EI EIl EI k ===，则kN/m 106241⨯==k k 。
14s 2.54200/106-=⨯====ωmkN W kg mg kg m k图16- 13【例16-9】 试求图16-14a 所示结构的自振频率。
略去杆件自重及阻尼影响。
图16-14【解】图a 为一次超静定结构，用力矩分配法作出单位弯矩图（图b ）。
计算质点处的柔度系数11δ（即位移计算），由图b （或图c ）与图d （虚拟状态），得EIl EI l EI l l l l EI l EI 33331104219.0153623512348132221421481==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=δ 则，ml EIm l EI m 3311172.82315361==δ=ω。
【例16-10】作图16-15a 所示 结构的动 力 弯 矩 幅 值 图 。
已 知 质 点 重 W =1.2kN ，扰 力 幅 值 P = 75.0kN ，扰 力 频 率 -1s 177=θ，梁 的 抗 弯 刚 度 EI =4490kN ·m 2。
图16-15【解】由图b 列 幅 方 程 ，即P A m A P 1211δθδ+=，P m A P 1211)1(δθδ=-，因为 111δωm =P P m PA P P P 1122211111)1(μδδωθθδδ=-=-=，2211ωθμ-=由图c 求柔度系数11δ，即kN /000279.034311m EIm ==δ， 由图d 求柔度系数P 1δ，即kN /000408.061131m EIm P==δ, 1112s 78561-==δωm ,kN37.1, m 000102.075.0000408.031, 31, 2 ,s 63.8821-=-=⨯⨯-=-===-A m A θμωθω将动荷载P 和惯性力A m 2θ加于结构上，得动力弯矩幅值图如图e 所示。
【例16-11】 图16-16a 所 示 体 系 中 ，电 机 重 kN 10=W 置 于 刚 性 横 梁 上 ，电 机 转 速 min /500r n = ，水 平 方 向 强 迫 力 为 ) sin(kN 2)(t t P θ⋅=，已 知 柱 顶 侧 移 刚 度 kN/m 1002.14⨯=k ，自 振 频 率 -1s 100=ω 。
求 稳 态 振 动 的 振 幅 及 最 大 动 力 弯 矩 图 。
图16-16【解】只有水平振动。
干扰力频率-1s 36.52=θ ，动力系数 ,378.1=μ 静位移 m 9610.1/1002.1244st -=⨯==mkN kN k P y 振 幅 mm 27.09610.1387.1 4st =⨯=μ=-m y A动 力 弯 矩 图 （图c ）M M M P M D 756.22378.1=⨯⨯=μ= 。
【例16-12】 图 16-17a 所示 体 系 各 柱 EI = 常 数 ，柱 高 均 为 l ，))/(18(3ml EI =θ。
求 最 大 动 力 弯 矩 。
图16-17【解】由图b 可知，3336123l EIl EI k =⨯=，则自 振 频 率336mlEIm k==ω。
动力系数21122=ωθ-=μ，最 大 动 力 弯 矩 M P M D μ=(max)（见图c 、d ）。
【例16-13】 求 图 16-18a 所示 体 系 的 自 振 频 率 和 主 振 型 ，并 作 出 振 型 图 。
已 知 ：m m m m ==21,2，EI = 常 数 。
图16-18【解】用柔度法作。
1．为求柔度系数，首先绘出单位弯矩图(图b 和c)。
由位移计算公式， 得EI 3333.111=δ,EI 5.02112-=δ=δ，EI 5833.022=δ2．求频率将它们代入频率方程，即01212222121122111=ω-δδδω-δm m m m展开上式并令λ=ω21得 ()()02121222112221112=δ-δδ+λδ+δ-λm m m m()()212112221122221112221112,1m m m m 412m m δδ+δδ-δ+δ±δ+δ=λ 两个根为 EI m 883.21=λ，EI m 366.02=λ 从而可得两个自振频率为 m EI 5889.0111=λ=ω， m EI 653.1122=λ=ω 3．求主振型下面确定相应的两个主振型。