,
其中： ； (1)
(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比 。
方法二：功率法：
（1）单自由度系统在 作用下的振动过程中，在一个周期内，
弹性力作功为 、
阻尼力做功为 、
激振力做作功为 ；
（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
;图2-12
(3)系统的Lagrange函数
（4）系统的运动微分方程
由Lagrange方程 可得
即
（6）系统的特征方程设系统的运动微分方程的解为
代入系统的运动微分方程得系统的特征方程
即
（7）系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
即
解得
系统的固有频率
；
（7）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
因此系统的固有频率为：
；
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系数为C，求当初始条件 时
（１） 的稳态解；C f(t)
（２） 的解；L/2 L/2
解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程
；K K
而 ； 图１－３７
得 ；
化简得
(1)
（1）求 的稳态解；
将 代入方程（1）得
解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：
Y1
其中： 表示路面波动情况； 1表示汽车上下波动位移。K/2 C K/2
将其整理为：
(1) Y(t)
将 代入得
图１－３９
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为：
代入系统运动微分方程（1）可解得：
；
；
1.11.若电磁激振力可写为 ，求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。
系统的固有振型
（8）系统的主振动
2.3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13），杆的质量为m，两弹簧的刚度分 别为2K和K。
（1）写出用杆端铅直位移u1和u2表示的运动方程；u1 C m u2
（2）写出它的两个固有频率；
（3）画出它的两个固有振型；
解：(1)均质杆的运动微分方程2K K
以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心
；
将其代入方程（6）可以求得：
最后得
1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，
由机械能守恒定理 的振子的初速度 ；
（6）等效粘性阻尼：取 ，令
可得：
第二章两个自由度系统
2.1求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。
解：（1）系统的振动微分方程
; X1X2
;m m
即 ；
； （1） 图 2-11
（2）系统的特征方程 根据微分方程理论，设方程组（1）的解为：
； （2）
将表达式（2）代入方程组（1）得：
底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度
的主动隔振
系统的运动微分方程为：
；K/2cK/2
或
或 H
系统的运动方程是对于初始条件的响应：
；
；
；
1.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。
解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
其中： ；
因为 是偶函数，所以 。
于是
而
；
式中
；
；
1.12.若流体的阻尼力可写为 ,求其等效粘性阻尼。
解：（1）流体的阻尼力为 ；
（2）设位移为 ，而 ；
（3）流体的阻尼力的元功为 ；
（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
解：（1）系统自由度、广义坐标：
图2-19所示的系统自由度N=2，选Y、 为
广义坐标。R V
（2）系统运动微分方程
适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U；
（2）由格朗日方程 =0，得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
C的位移为 L
均质杆绕质心C的转角为 图2-13
均质杆的运动微分方程 即
即 即 （1）
（2）系统的特征方程
设运动微分方程（1）的解为 、 ，代入方程（1）
即
（4）系统的频率方程 系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
即
解得
系统的两个固有频率
；
（5）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33（b）
(3)系统的等效刚度为
m
k1 k1
则系统的固有频率为 图1-33（c）
（4）
由动量距定理 得：
（ ）=
得： ，
则 。
图1-33（d）
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：以 为广义坐标，则
系统的动能为
即： + + ；
于是 -
进一步得： ；
（3）当 时， ，
则 ，
得 , 。
1.4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。
（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、简支梁
刚度为 ； 等效刚度为k;有 ； L/2L/2
则固有频率为： ； 图1-33（a）
（2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为:
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
；
于是
；
进一步
；
最后
；
1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励 作用下其稳态响应为：
图1-34
系的势能能为：
；
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程 得
则，
=
所以：系统的固有频率为
1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K。
解：磙子作平面运动， K
其动能T=T平动+T转动。x
图1-35
；
而势能
；
系统机械能
;
由 得系统运动微分方程
；
得系统的固有频率
第一章单自由度系统
1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 ,得到系统的运动微分方程；
即
（1-5）
求解方程组（1-5）得：
（1-6）
所以在公式 中有
（1-7）
2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(ωt)作用于质量块M上，求使M不动的条件。
解：（1）系统有两个自由度，选广义坐标为x,φ
（2）系统的动能
X
（3）系统的势能KMK
（4）Lagrange函数 L
图2-18m
（5）对Lagrange函数求导
（3）
因为 不可能总为零，所以只有前面的系数为零：
；
即
； （4）
（3）系统的频率方程 若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：
；
展开得
； （5）
系统的固有频率为：
； （6）
（4）系统的固有振型 将 ， 代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为： （7）
1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 ， 进一步推导有
，
因为 较小， 所以有
。
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。
系统的两阶固有振型
（8）系统的两阶主振动
2.4确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。
解：（1）系统运动微分方程
即u1 u2
2k
（1）
（2）系统特征方程 图2-14
设运动微分方程（1）的解为
和 ，
代入方程（1）
即
（3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
即
解得
;
（4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
+1 +1 +1
-1/2
2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m，长为L，悬线长为L/2，求该系统的固有频率和固有振型。