在 上及其内部
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公式
常用于计算积分：
这两个积分的被积函数分别为：
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例1
计算积分
| z 1 | 1
1 z3
1
d
z
.
解：
| z1 | 1
1 z3 1 d z
|z 1 | 1
z
2
1 z
1
z
1
1
d
z
圆周
内包含 而函数 1 在
第三章
第三节 柯西积分公式和高阶 导数公式
一、柯西积分公式 二、高阶导数公式 三、调和函数
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一、柯西积分公式 设 是正向简单闭曲线，
解析， 是 内一点， 则
在 上及其内部
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二、高阶导数公式 设 是正向简单闭曲线，
解析， 是 内一点， 则
z2 z 1
内解析， 所以
| | z1 | 1
1 z3
1
d
z
2
i
z2
1 z
1
z 1
2i
3
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例2
计算积分
| z 1 | 1
z
1 4
1
d
z
.
解：
| z1| 1
1 z4 1 dz
| z 1 | 1
1
1
(z2 1)(z 1) z 1 d z
圆周
内包含
解：
得
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由
得，
即 因此 得解析函数
故
i [ex( y cos y x sin y) x y]
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即
由 f (0) 0 得， c 0,
所以
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eiz 1
zi zi
dz
2
圆周
2
内包含
而函数 e i z 在
zi
内解析，所以
| z 2i | 3 2
| e i z
z2 1
dz
2i
eiz zi
zi
2 i e1
2i
e
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Hale Waihona Puke 例4计算积分|z|2
e z z2 (z 1)4
dz.
解：
| z | 2
e z z2 (z 1)4
ez (z i)2
(
z
1
i)2
dz
2
2
|
2 i
1!
(z
ez i)2
zi
2 i (1 i) e i
4
i (1 i) e i
2
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| z i | 1
ez (z2 1)2
dz
|zi | 1
ez (z i)2
(
z
1
i
)2
dz
2
2
|
2 i
1!
(z
ez i)2
2 i (1 i) e i
z i
4
i (1 i) e i
2
原积分 i (1 i) e i i (1 i) e i
2
2
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三、调和函数
定义：设 (x, y) 在区域 D 内具有二阶连续偏导数，
并且满足拉普拉斯方程
dz
|z|2
(e
z
z
2
)
(
z
1 1)4
dz
圆周
内包含 而函数 f (z) e z z 2 在
内解析，f (z) e z 2z , f (z) e z 2 ,
f (z) e z , 所以
| z | 2
e z z2 (z 1)4
d z 2 i f (1) 2 i e e i
3!
3!
3
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例5 计算积分
解：
|z|2
| z | 2
ez (z2 1)2
dz
| zi | 1
2
ez (z2 1)2
dz.
e z
(z2 1)2
dz
|zi | 1
2
ez (z2 1)2 d z
其中 | zi | 1
ez (z2 1)2
dz
|zi | 1
调和函数 v (x, y) 和由它们构成的解析函数.
解：
所以
即 u (x, y) 为调和函数.
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由
得
所以
又由
即 因此 得解析函数
得， 故
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例7 已知一调和函数 v (x, y) ex ( y cos y x sin y) x y 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
1 而函数 (z2 1)( z 1) 在
内解析， 所以
| | z1| 1
1 z4
1
d
z
2
i
(
z
2
1 1)(
z
1)
1i
z1 2
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例3 计算积分
解：
| z 2i | 3 2
eiz z2 1
dz.
| z2i | 3
eiz z2 1
dz
| z 2i | 3
那么称
为区域 内的调和函数.
定义：设 u (x, y), v (x, y) 都是 D 内的调和函数，
且满足柯西 - 黎曼方程
则称 u (x, y), v (x, y) 是共轭调和函数.
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定理： 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和 虚部都是 D 内的调和函数.
例6 证明 u (x, y) y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭