常用积分公式表·例题和点评
⑴d k x kx c (k 为常数) ⑵1
1d (1)1x x x
c 特别，
211dx c x x ,
3
22d 3
x x
x c ,
1d 2x x c
x
⑶
1d ln ||x
x c x ⑷d ln x x a a x c a
,特别，e d e x x
x
c
⑸sin d cos x x
x c ⑹cos d sin x x x
c
⑺2
2
1d csc d cot sin x x x x c x ⑻221d sec d tan cos x x x x c
x
⑼221d arcsin (0)x x
c a a a x ,特别，21
d arcsin 1x
x c
x ⑽22
11d arctan
(0)x x c a a x
a
a
,特别，21
d arctan 1x x
c x
⑾2
2
1
1d ln (0)2a x x c a a x a a x 或22
11d ln (0)
2x a x
c a
x
a
a x
a ⑿
tan d ln cos x x x c ⒀cot d ln sin x x
x
c
⒁ln csc cot 1csc d d ln tan
sin 2x x c
x x
x
x c x
⒂ln sec tan 1sec d d πln tan
cos 2
4
x x c x x
x
x c x
⒃(0)
2
2
2
2
1d ===ln a x x
x
a c x a
⒄2
(0)
2
2
2
2
d ===
arcsin
22a a
x x a
x x a
x
c
a
⒅
2
(0)
2
2
2
2
2
2
d ===
ln 2
2
a x a
x
a x x
a
x x
a
c
⒆
2
2
22sin cos e sin d e
sin cos e cos d e
ax
ax
ax
ax
a bx
b bx bx x
c a b
b bx
a bx bx x
c
a
b
⒇
1
222
2
21
2
123
d ()
2(1)()
2(1)n
n n
n x
n x
c a
x n a a
x n a
（递推公式）
跟我做练习
(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)
例24含根式2
ax
bx
c 的积分
⑴2
2
45d (2)1d(2)x
x
x
x x [套用公式⒅］⑵
2
2
145d (24)
4
45d 2
x x x x x
x
x x
(请你写出答案) ⑶
2
2
1
1d d(2)
45
(2)
1
x
x x
x x
2
ln 2(2)
1
x x [套用公式⒃］
⑷
2
2
1(24)
4d d 2
4545
x x x
x
x x
x x 2
2
2
1d(45)12
d 2
45
45x x x
x x
x x
(请你写出答案) ⑸
2
2
2
5
4d 3
(2)d(2)
x
x x
x x
2
2
2
3
22
arcsin
3
(2)
2
3
2
x x x [套用公式⒄］
⑹
2
2
154d (42)454d 2
x x
x x
x x x x
(请你写出答案) ⑺
2
2
2
d d(2)5
43(2)x x
x x
x 2
arcsin 3x [套用公式⑼］
⑻
2
2
(4
2)4d d 12
5
45
4x x x x x
x
x
x
2
22
1d(54)d 2
2
5
45
4x x x x
x
x
x
(请你写出答案)
例25求原函数4
1d 1x x
.
解因为所以令
从恒等式1)
12)(()12)((2
2
x x D x C x x
B Ax (两端分子相等)，可得方程组
解这个方程组(在草纸上做)，得2
1,2
21,2
1,2
21D
C B A .因此，
右端的第一个积分为
22
2
2
1d(21)11
d 4
42
21
212
2
x x x x
x x
(套用积分
公式)
类似地，右端的第二个积分为所以
22
2
12112ln arctan
1
42
21
22
x x x x
x
x （见下注）
【注】根据tan
tan tan()
1tan
tan
,则
因此,
例26求d (0
1)1cos x x
.【关于
d (0
1)1
cos x x
，见例17】
解令tan
2x t (半角替换)，则
于是，
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但
不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x 的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
()()
()
lim
h
y x h y x y x h
或d ()d y
y x x
确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如
2
1e
sin e
d ,
d ,
d ,
d ln x
x
x x x x x x
x
x
等
都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。