| 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由2xx知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等.

因为函数()fx的定义域是{,1}xxxR,而函数()gx的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400xx

 即 40xx

所以函数的定义域是(,0)(0,4]U. (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010xxx 即 301xxx





所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数有意义,必须 210x

即 1x

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)UU. (4)要使函数有意义,必须

12sin1x 即 11sin22x

即ππ2π2π66kxk或5π7π2π2π66kxk,(k为整数). 也即ππππ66kxk (k为整数). 所以函数的定义域是ππ[π,π]66kk, k为整数. 3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].

4. 解: 10(0)110f,1()1(),1()1xxfxxx1111().111xxfxxx 5.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13xxfxxxxx 6.解: ()ln(())22,gxxxfgx | (())()ln()2ln2(ln2)2,xxxgfxfxfxx ()2(())22,(())()ln()lnln(ln).xfxffxggxgxgxxxxx



7. 证:由321yx解得312yx, 故函数3()21fxx的反函数是31()2xyxR,这与31()2xgx是同一个函数,所以3()21fxx和31()2xgx互为反函数. 8. 解: (1)由11xyx解得11yxy, 所以函数11xyx的反函数为1(1)1xyxx. (2)由ln(2)1yx得1e2yx, 所以,函数ln(2)1yx的反函数为1e2()xyx R.

(3)由253xy解得31(log5)2xy 所以,函数253xy的反函数为31(log5)(0)2yxx . (4)由31cosyx得3cos1xy,又[0,π]x,故3arccos1xy. 又由1cos1x得301cos2x, 即02y,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos,[0,π]yxx的反函数为3arccos1(02)yxx . 9. 解: (1)()1()1()11()fxxxxxfxQ ()11fxxx是偶函数.

(2)222222()eesin()eesin(eesin)()xxxxxxfxxxxfxQ 函数22eesinxxyx是奇函数.

10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x时,有201xx,当0x时,有21122xxxx,

故(,),x有12y.即函数21xyx有上界. 又因为函数21xyx为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xyx有界. | 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)xxxxxxyyxxxx知,当12xx且121xx时,12yy,而 当12xx且121xx时,12yy.

故函数21xyx在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0MxQ且12;e0MxMx,使2lnxM.

取012max{,}xxx,则有0012lnln2xxxxMM, 所以函数lnyxx在定义域内是无界的. 又当120xx时,有12120,lnln0xxxx 故1211221212(ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx. 即当120xx时,恒有12yy,所以函数lnyxx在(0,)内单调递增.

11. 解: (1)124(1)yx是由124,1yuux复合而成. (2)2sin(12)yx是由2,sin,12yuuvvx复合而成.

(3)512(110)xy是由152,1,10,wyuuvvwx复合而成. (4)11arcsin2yx是由1,1,arcsin,2yuuvvwwx复合而成. 12.证: (1)设()()()Fxfxfx,则(,)x, 有()()()()FxfxfxFx 故()()fxfx为偶函数. (2)设()()(),Gxfxfx则(,)x, 有()()()[()()]()GxfxfxfxfxGx 故()()fxfx为奇函数. 13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;

又每批有产品610x件,库存数为6102x件,库存费为6100.052x元. 设总费用为,则63100.05102yxx. 14. 解: 当x能被20整除,即[]2020xx时,邮资0.802025xxy; 当x不能被20整除时,即[]2020xx时,由题意知邮资0.80120xy.

综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020xxxxyxxxx且且 | 其中20x,120x分别表示不超过20x,120x的最大整数. 15. 证: (1)由eesinh2xxyx得2e2e10xxy 解方程2e2e10xxy得2e1xyy, 因为e0x,所以2e1xyy,2ln(1)xyy 所以sinhyx的反函数是2arcsinhln(1)().yxxxx

(2)由eetanheexxxxyx得21e1xyy,得1112ln,ln121yyxxyy; 又由101yy得11y, 所以函数tanhyx的反函数为 11arctanhln (11).21xyxxx



16. 解: 011()(2cot)(cot)22ShADBChhBCBChBCh 从而 0cotSBChh. 000

()22cotsinsin2cos2cos40sinsin40LABBCCDABCDShhBChhSShhhh

oo

由00,cot0ShBChh得定义域为0(0,tan40)So. 17. 解: 1(1),1nnxn当n时,1nx. 1(2)cosπ2nnxn

, 当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于. 21(3)(1)21nnnxn

,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

18. 解: (1)lim0nnax,0,要使11π0sin2nnxnn,只须1n.取1N,则当nN时,必有0nx.

当0.001时,110000.001N或大于1000的整数. | (2)lim0nnax,0,要使2210222nxnnnnnn

只要1n即21n即可. 取21N,则当nN时,有0nx. 当0.0001时, 821100.0001N或大于108的整数. 19. 证: (1)0,要使22110nn,只要1n.取1N,则当n>N时,恒有210n.故21lim0nn. (2) 0,要使555313,2(21)4212nnnnn只要5n,取5N,则当n>N时,恒有313212nn.故313lim212nnn. (3) 0,要使22222221()aanannnann,只要2an,取2a

n,则当n>N时,恒有221nan

,从而22lim1nnan.

(4)因为对于所有的正整数n,有10.99991n64748L个,故0,不防设1,要使1,0.999110nn678L个只要ln,ln10n

取ln,ln10N则当nN时,恒有

,0.9991n

678

L个

故lim0.9991nn678L个.

20.证: lim0nnxQ,由极限的定义知,0,0N,当nN时,恒有nxa. 而 nnxxaa 0,0N,当nN时,恒有nxa,

由极限的定义知lim.nnxa 但这个结论的逆不成立.如(1),lim1,nnnnxx但limnnx不存在.

21. 解: 1111(1)0(1)(1)1(1)1kkkkkknnnnnnnQ 而lim00n,当1k时,11lim0knn