习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-112x y ≤+≤<从而 0ln()1x y ≤+<故有 2ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2从而 ln(x +y )>1故有 2ln()[ln()]x y x y +<+|所以2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤.从而 2≤≤》故 2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得 8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰~而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而 2π24πσ=⋅= 所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰…3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3Da a σ=⎰⎰ （2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a 为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f (x ，y )为连续函数，求22200201lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰！又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥; (2) 2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥ (3) 2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤ 解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰?(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为 22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y =2x 与曲线2y x=的交点(1，2)，与x =2的交点为(2，4),曲线2y x =与x =2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰.~6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： （1）2220d (,)d yy y f x y x ⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰;(3) 1320d (,)d y y y f x y x -⎰⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y -⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为： 04,.2xx y x ≤≤≤≤ -所以22242d (,)d d (,)d .y xx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D ：1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为： 01,e e,y y x ≤≤≤≤所以eln 1e 1ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D 为：01,32,y y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.\图10-8D 亦可看成D 1与D 2的和，其中 D 1：201,0,x y x ≤≤≤≤D 2：113,0(3).2x y x ≤≤≤≤-所以2113213(3)20001d (,)d d (,)d d (,)d y x x yy f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D 为：0π,sinsin .2xx y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9、D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin0π1πarcsin0sin12arcsin0arcsin2d(,)d d(,)d d(,)dx yxy yx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中D1：01,02,y x y≤≤≤≤D2：13,03.y x y≤≤≤≤-如图10-10所示.|图10-10D亦可表示为：02,3;2xx y x≤≤≤≤-所以()123323001002d,d d(,)d d(,)dy y xxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围.解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d dDx y x y+⎰⎰其中D：22{(,)|}x y x y ax+≤:由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d dDx y x y+⎰⎰，其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cosπππcos3444422200001132d d2d cos dπ4232aaV r r r a aθθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d,DV x y x y=+⎰⎰其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11\D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y -=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分： （1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y 2=x ,直线x =0与y =1所围；（3）22d d ,Dx y x y -⎰⎰D 是以O (0,0)，A (1，-1)，B (1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.[解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()x x x y y y y yD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x yyyy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰)1111120000011de d e e d .22y y y y y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以21122222200d d d d arcsin d 22xxxx y y x y x y x x y y x y x x --⎡-=-=+-⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x x x x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰·9. 计算下列二次积分：10112111224(1)d d ;(2)d e d d e d .y yy y yyxxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。