数字信号处理实验报告4线性时不变离散时间系统频域分析一、实验目的通过使用matlab做实验来加强对传输函数的类型和频率响应和稳定性测试来强化理解概念。
4.1 传输函数分析回答:Q4.1 修改程序P3_1去不同的M值，当0<w<2pi时计算并画出式（2.13）所示滑动平均滤波器的幅度和相位谱，代码如下：% Program Q4_1% Frequency response of the causal M-point averager of Eq. (2.13) clear;% User specifies filter lengthM = input('Enter the filter length M: ');% Compute the frequency samples of the DTFTw = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = [1];% Compute and plot the DTFTh = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');所得结果如图示：M=2M=7幅度和相位谱表现出对称性的类型是由于–冲激响应是实数，因此频率响应是周期且对称的，幅度谱是周期甚至对称的，相位响应是周期奇对称。
采用移动平均滤波表示过滤器的类型–低通滤波器Q2.1的结果可以解释为–它是一个低通滤波器，输入是一个两个正弦分量的总和，一个高频和低频。
结果依赖于过滤器的长度，但总的结果是更高频率的正弦输入分量衰减超过较低的频率正弦输入分量。
Q4.2 因果LTI离散时间系统的频率响应曲线得到使用修改后的程序如下:通过此传递函数表示的过滤器类型–带通滤波器Q4.3 对问题的因果LTI离散时间系统的频率响应图q4.3得到使用修改后的程序如下通过此传递函数表示的过滤器类型- 带通滤波器4.2和4.3滤波器的不同在于–幅度谱两个是一样的，但是第二个相位谱不是连续的，原因是它们的极点不是一样的，4.36的极点在单位圆内，所以是稳定的，4.37的极点在单位圆外，所以不稳定。
我会选择4.36滤波器的原因是–因为4.37没有4.36稳定Q4.4 过滤器的群延迟的问题q4.4指定和使用功能如下所示:从图像可以观察到: 这是一个窄阻带的带阻滤波器，在大多数的带通滤波器中，群延迟是恒定的。
Q4.5 4.2和4.3两个滤波器的前100个样本冲击响应的图像如图示：可以得到观察: 4.36给出的滤波器是稳定的，即h[n]是可求和的，并且冲激响应呈指数型衰减，而4.37给出的是不稳定的，所以h[n]随n呈指数型增长。
Q4.6 使用zplane生成式4.36和4.37确定的两个滤波器的零极点图:从图像可以观察到: 上图的极点都在单位圆内，所以是因果稳定的，下图的极点在单位圆外，不是因果稳定。
4.2 传输函数的类型Project 4.2 滤波器P4_1的代码如下：% Program P4_1% Impulse Response of Truncated Ideal Lowpass Filterclf;fc = 0.25;n = [-6.5:1:6.5];y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5;stem(k,y);title('N = 13');axis([0 13 -0.2 0.6]);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');grid;回答:Q4.7 接近于理想低通滤波器的冲击响应的图像：FIR低通滤波器的长度是 - 14P4_1决定低通滤波器长度的语句是– n = [-6.5:1:6.5];控制截止频率的参数是- fc = 0.25;Q4.8 修改程序P4.1，计算并画出式（4.39）所示长度为20，截止频率为wc=0.45的有限冲击响应低通滤波器的冲击响应:% Program Q4_8% Impulse Response of Truncated Ideal Lowpass Filterclf;9fc = 0.45;n = [-9.5:1:9.5];y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+9.5;stem(k,y);title('N = 20');axis([0 19 -0.2 0.7]);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');grid;得到的结果是:Q4.9 必要的修改程序p4_1计算并画出长度与15和0.65的截止频率的FIR低通滤波器的脉冲响应:% Program Q4_9% Impulse Response of Truncated Ideal Lowpass Filterclf;fc = 0.65;n = [-7.0:1:7.0];y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+7.0;stem(k,y);title('N = 14');axis([0 14 -0.4 1.4]);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');grid;得到的图像是：Q4.10 MATLAB计算程序和绘图的FIR低通滤波器的的幅度响应如下：% Program Q4_10% Compute and plot the amplitude response% of Truncated Ideal Lowpass Filterclear;% Get "N" from the user command lineN = input('Enter the filter time shift N: ');% compute the magnitude spectrumNo2 = N/2;fc = 0.25;n = [-No2:1:No2];y = 2*fc*sinc(2*fc*n);w = 0:pi/511:pi;h = freqz(y, [1], w);plot(w/pi,abs(h));grid;title(strcat('|H(e^{j\omega})|, N=',num2str(N)));xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');低通滤波器的幅度相应（若干个n值）:从图像可以得到观察–随着滤波器长度的增加，从通过到不通过变得更加陡峭，我们也可以看到吉布斯现象：当滤波器增加时，幅度相应更加趋向一个理想的低通特征。
然而随着w增长，峰值是增加而不是降低。
P4_2的代码:% Program P4_2% Gain Response of a Moving Average Lowpass Filterclf;M = 2;num = ones(1,M)/M;[g,w] = gain(num,1);plot(w/pi,g);gridaxis([0 1 -50 0.5])xlabel('\omega /\pi');ylabel('Gain in dB');title(['M = ', num2str(M)])回答:Q4.11长度为2的滑动平均滤波器的增益相应的图像：从图中可以看出，3-dB截止频率是-pi/2Q4.12 必要的修改程序p4_2计算并画出一个级联的K长度为2的滑动平均滤波器的增益响应如下：% Program Q4_12% Gain Response of a cascade connection of K% two-point Moving Average Lowpass Filtersclear;K = input('Enter the number of sections K: ');Hz = [1];% find the numerator for H(z) = cascade of K sectionsfori=1:K;Hz = conv(Hz,[1 1]);end;Hz = (0.5)^K * Hz;% Convert numerator to dB[g,w] = gain(Hz,1);% make a horizontal line on the plot at -3 dBThreedB = -3*ones(1,length(g));% make a vertical line on the plot at the% theoretical 3dB frequencyt1 = 2*acos((0.5)^(1/(2*K)))*ones(1,512)/pi;t2 = -50:50.5/511:0.5;plot(w/pi,g,w/pi,ThreedB,t1,t2);grid;axis([0 1 -50 0.5])xlabel('\omega /\pi');ylabel('Gain in dB');title(['K = ',num2str(K),'; Theoretical \omega_{c} = ',num2str(t1(1))]);使用修改后的程序级联部分的增益响应曲线得到如下所示：从图中可以看出，级联的3-dB截止频率是 -0.30015piQ4.13 必要的修改程序p4_2计算高通滤波器的增益响应（4.42）如下: % Program Q4_13% Gain Response of Highpass Filter (4.42)clear;M = input('Enter the filter length M: ');n = 0:M-1;num = (-1).^n .* ones(1,M)/M;[g,w] = gain(num,1);plot(w/pi,g);grid;axis([0 1 -50 0.5]);xlabel('\omega /\pi');ylabel('Gain in dB');title(['M = ', num2str(M)]);通过修改程序，增益响应M=5的曲线为：我们可以得到3-dB 的截止频率在–大约在0.8196piQ4.14 从式子. (4.16) 3-dB截止频率ωc 在0.45π我们可以得到α=0.078702取代α在式子 (4.15) 和(4.17)我们得到的一阶IIR低通和高通滤波器的传递函数，分别给出了H LP(z) =H HP(z) =我们得到的增益响应如图示:从这些图中我们看到，所设计的滤波器满足规格。