清华附中高三2019年12月月考试卷数学
一、选择题（共8小题；共40分）
1.已知集合{}1,0,1A =-，2
{1}B x x =< ，则A B =U （ ）
A. {}1,1-
B. {}1,0,1-
C. {}
11x x -≤≤
D. {}
1x x ≤
2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
3.若12
2log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =
B. 2b a =
C. 4a b =
D. 4b a =
4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是(
)
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 四棱锥
D. 四棱柱
5.已知直线0x y m -+=与圆O ：2
2
1x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）
A.
2
B.
2
-
6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.函数()log a x x f x x
=
（01a <<）的图象大致形状是（ ）
A. B.
C.
D.
8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛
C. 8号学生进入30秒跳绳决赛
D. 9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题（共6小题；共30分）
9.直线y x =
被圆22
(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=
，，则b
c
=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.
13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动
点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r
的最小值是________.
14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2
2
20AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r
，则||BD uuu r 的最大值为______．
三、解答题（共6小题；共80分）
15.已知数列{}n b ，满足14b =且1
2(2)1
n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；
(2)求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,
]6
m π
上的最小值为2-，求m 的最大值.
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD
△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，
1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .
(1)证明：AC ⊥平面P AD ；
(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；
(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出
PE
PD
的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，
离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △
，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
19.已知函数221
()(1)2
x
f x a x e
ax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.
(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.
20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．
（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14
1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨
≥⎩
，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *
∀∈<”的充要条件；
（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。