初中数学二次函数图像及性质练习题一、单选题 1.将抛物线216212y x x =-+向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．()221852y x x =-+ B ．y=()221452y x x =-+C ．()221832y x x =-+ D ．()221432y x x =-+ 2.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或63.已知抛物线()22y a x k =-+(0,,a a k >为常数),123(3,)(3,)(4,)A y B y C y -是抛物线上三点,则123,,y y y 由小到大依序排列为( )A.123y y y <<B.213y y y <<C.231y y y <<D.321y y y <<4.把抛物线()21y x =+向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得到的抛物线是( ) A.22y x =-B.22y x =+C.()222y x =+-D.()222y x =++5.将抛物线()21y x =-+向左平移1个单位后,得到的抛物线的顶点坐标是( ) A.(2,0)-B.(0,0)C.(1,1)--D.(2,1)--6.在平面直角坐标系中,将二次函数22y x =的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为( ) A.222y x =+ B.222y x =- C.()222y x =+ D.()222y x =-7.抛物线()212y x =-+的对称轴是( ) A.直线1x =- B.直线1x = C.直线2x =- D.2x =8.下列说法中错误的是( )A.在函数2y x =-中,当0x =时y 有最大值0B.在函数22y x =中,当0x >时y 随x 的增大而增大C.抛物线222,1,22y x y x y x ==-=-中,抛物线22y x =的开口最小,抛物线2y x =-的开口最大 D.不论a 是正数还是负数,抛物线2y ax =的顶点都是坐标原点9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,其对称轴为直线1x =-,给出下列结果:(1)24b ac >;(2)0abc >;(3)20a b +=;(4)0a b c ++>;(5)0a b c -+<.则正确的结论是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)10.如图,正方形ABCD 中,4cm AB =,点E 、F 同时从C 点出发,以1cm/s 的速度分别沿CB BA -、CD DA -运动,到点A 时停止运动.设运动时间为(s)t ,AEF △的面积为2()cm S ,则2()cm S 与(s)t 的函数关系可用图象表示为( )A. B. C. D.11.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列关系式中正确的是( )A.0ac >B.20b a +<C.240b ac >﹣D.0a b c -+< 12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图,则下列结论中正确的有_____个( ) ① 20a b +=② 当1x <时,y 随x 的增大而增大 ③ 0c < ④ 930a b c ++= ⑤ 240b ac ->A.2B.3C.4D.513.已知抛物线：2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(1, 3.2)--及部分图象（如图），由图象可知关于x 的 —元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x =( )A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.314.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为4440y x =-+，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ） A.60元 B.70元 C.80元 D.90元二、解答题15.如图,已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与 x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于C 点,其中()()1,0,0,3A C .1.若直线y mx n =+经过,B C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;2.在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;3.设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标.1.求该抛物线的函数解析式；所对应的函数表达式。
17.如图,抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点(3,0)A -和点B ,交y 轴于点(0,3)C1.求抛物线的函数表达式2.若点P 在抛物线上,且4AOP BOC S S =△△,求点P 的坐标;3.如图b,设点Q 是线段AC 上的一动点,作DQ x ⊥轴,交抛物线于点D ,求线段DQ 长度的最大值 18.如图1,抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -, ()4,0B 两点,与y 轴相交于点C ,连接BC .点P 为抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线l ,交直线BC 于点G ,交x 轴于点E.1.求抛物线的表达式;2.当CF ⊥位于y 轴右边的抛物线上运动时,过点C 作CF ⊥直线l ,F 为垂足.当点P 运动到何处时,以,,P C F 为顶点的三角形与OBC △相似?并求出此时点P 的坐标;3.如图2,当点P 在位于直线BC 上方的抛物线上运动时,连接, PC PB .请问PBC △的面积S 能否取得最大值?若能,请求出最大面积S ,并求出此时点P 的坐标;若不能,请说明理由.19.已知如图1,抛物线23y x x =--+与x 轴交于A 和B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,点D 的坐标是(0,1)-,连接BC AC 、1.求出直线AD 的解析式;2.如图2,若在直线AC 上方的抛物线上有一点F ,当ADF △的面积最大时,有一线段MN =5(点M在点N 的左侧)在直线BD 上移动,首尾顺次连接点A M N F 、、、构成四边形AMNF ,请求出四边形AMNF 的周长最小时点N 的横坐标;3. 如图3,将DBC △绕点D 逆时针旋转α°(0<α°<180°),记旋转中的DBC △为DB C ''△若直线B C '与直线AC 交于点P ,直线B C '与直线DC 交于点Q ,当CPQ △是等腰三角形时,求CP 的值. 20.如图,在平面直角坐标系中,ABC △三个顶点坐标分别为()1,0A -、()4,0B 、()0,2C ,将ABC △绕点B 顺时针旋转90°得到11A BC △,有一条抛物线经过点A ,且它的顶点为1A .1.求该抛物线的解析式;2.该抛物线是否经过点1C ,请说明理由;3.在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使1QC QC -有最大值,若存在,请求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.21.已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点 (-3,0)A 和点(1,0)B ,与y 轴相交于(0,3)(0)C m m ->,顶点为点D 。
1.求该二次函数的解析式(系数用含m 的代数式表示);2.如图①,当2m =时,点P 为第三象限内抛物线上的一个动点,设APC △的面积为S ,试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值;3.如图②,当m 取何值时,以A D C 、、三点为顶点的三角形与OBC △相似? 22.已知:二次函数2y x bx c =-++的图象过点(1,8),(0,3)---.1.求此二次函数的表达式,并用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式2.画出此函数图象的示意图23.如图1,已知:抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点,与y 轴交于点C ,经过,A B 两点的直线是122y x =-,连结AC .1.求出抛物线的函数关系式2.若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC (顶点D E F G 、、、在ABC △各边上)?若能,求出在AB 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由3.点(,0)P t 是x 轴上一动点,P Q 、两点关于直线BC 成轴对称,PQ 交BC 于点M ,作QH x ⊥轴于点H .连结OQ ,是否存在t 的值,使OQH △与APM △相似?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由 24.已知直线()0y kx b k =+≠过点(0,1)F ,与抛物线214y x =相交于B 、C 两点.1.如图1,当点C 的横坐标为1时,求直线BC 的解析式;2.在上题的条件下,点M 是直线BC 上一动点,过点M 作y 轴的平行线,与抛物线交于点D ,是否存在这样的点M ,使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由3.如图2,设(,)B m n (m<0),过点(0,1)E -的直线//l x 轴,BR l ⊥于R ,CS l ⊥于S ,连接FR FS 、.试判断RFS △的形状,并说明理由.25.如图1,已知一次函数3y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点,且与x 轴交于另一点C .1.求b 、c 的值2.如图1,点D 为AC 的中点,点E 在线段BD 上,且2BE ED =,连接CE 并延长交抛物线于点M ,求点M 的坐标;3.将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ,连接CG ,如图2,P 为ACG △内以点,连接PA PC PG 、、,分别以AP AG 、为边,在他们的左侧作等边APR △,等边AGQ △,连接QR①求证:PG RQ =;②求PA PC PG ++的最小值,并求出当PA PC PG ++取得最小值时点P 的坐标。
26.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx =+经过点4()3,A -,直线l 与x 轴相交于点B ,与AOB ∠的平分线相交于点C ,直线l 的解析式为()50y kx k k =-≠,BC OB =.1.若点C 在此抛物线上,求抛物线的解析式;2.在上面小题的条件下,过点A 作y 轴的平行线,与直线l 相交于点D ,设P 为抛物线上的一个动点,连接PA PD 、,当23PAD COB S S =△△时,求点P 的坐标. 三、填空题27.已知二次函数24y x x k -=+的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_________． 28.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0,1)-，那么这个二次函数的解析式可以 是 （只需写一个） 29.在二次函数23my mx -=的图象的对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，则m 的值为 .30.已知二次函数2)2(31y x =-+,下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线3x =-;③其图象顶点坐标为(3,1)-;④当3x <时,y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有__________ 31.在二次函数2y x bx c =++中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表,则该抛物线的顶点坐标为________,m =________x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27__________.33.若将抛物线212y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是_____.34.如图,在平面直角坐标系中,点A 在抛物线223y x x =++上运动,过点A 作AB x ⊥轴于点B ,以AB 为斜边作Rt ABC △,则AB 边上的中线CD 的最小值为__________.35.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号) ①0b >； ②0a b c -+<； ③阴影部分的面积为4； ④若1c =-，则24b a =.参考答案1.答案：D.图象向左平移方法2:直接运用函数图象左右平移的“左加右减”法则向左平移2个单位，即原来解析式中所有的2.答案：B解析：二次函数2()y x h =--(h 为常数)，图象的开口向下，顶点坐标为(,0)h ，函数值的最大值为0,因为当25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，所以h 不能取2~5(含2与5)间的数.当2h <时.点(2,1)-在抛物线上.把(2,1)-代入2()y x h =--,解得1h =或3h =(不合题意，舍去)；当5h >时，点(5,1)-在抛物线上，把(5,1)-代入2()y x h =--,解得6h =或4h = (不合题意，舍去).综上可知，h 的值为1或6，故选B. 3.答案：C 解析： 4.答案：A解析：抛物线21y x =+（）的顶点坐标是(1,0)-，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后抛物线的顶点坐标是(0,2)-，所以平移后抛物线的解析式为：22y x =-， 故选：A ．考点：二次函数图象与几何变换． 5.答案：B 解析： 6.答案：A解析：按照“左加右减，上加下减”的规律解答．解：二次函数22y x =的图象向上平移2个单位，得222y x =+． 故选A ． 7.答案：B解析： 8.答案：C 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：D 解析： 11.答案：C 解析： 12.答案：C 解析： 13.答案：D解析：由题意知抛物线的对称轴为1x =-， 则1212x x +=-，即21.312x +=-,解得2 3.3x =-，故选D 14.答案：C解析：设销售该商品每月所获总利润为W 元，则()()()225044404640220004803600W x x x x x =--+=-+-=--+，∴当80x =时，W 取得最大值，最大值为3600，即售价为80元时，销售该商品所获利润最大，故选C 15.答案：1.依题意,得1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解之,得1,2,3.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-,且抛物线经过0(1)A ，,∴()3,0B -. 把()3,0B -、()0,3C 分别直线y mx n =+,得 303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之,得13m n =⎧⎨=⎩. ∴直线BC 的解析式为3y x =+. 2.∵MA MB =,∴ MA MC MB MC +=+.∴使MA MC +最小的点M 应为直线BC 与对称轴1x =-的交点. 设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,把1x =-代入直线3y x =+,得2y =, ∴()1,2M -.3.设()1,P t -,结合()()3,0,0,3B C -,得218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+,①若B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即22184610t t t ++=-+. 解之,得2t =-.②若C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即22186104t t t +-+=+. 解之,得4t =.③若P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即22 461018t t t ++-+=. 解之,得1317t+=,2317t -=. 综上所述,满足条件的点P 共有四个,分别为()()12343173171,2,1,4,1,,1,P P P P ⎛⎫⎛⎫+------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解析：16.答案：1.把(1)0，和30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =-++，得10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩则该抛物线的表达式为21322y x x =--+2.∵抛物线的表达式为()2213112222y x x x =--+=-++，∴顶点坐标为(12)-，，∴将抛物线21322y x x =--+平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象所对应的的函数表达式为212y x =-解析：17.答案：1.解:把(3,0)A -,(0,3)C 代入2y x bx c =-++,得093{3b c c =--+=解得:2{3b c =-=故该抛物线的解析式为:223?y x x =--+2.由(1)知,该抛物线的解析式为223?y x x =--+,则易得(1,0)B ∵4AOP BOC S S =△△ ∴21132341322x x ⨯⨯--+=⨯⨯⨯ 整理,得2(1)0x +=或2270x x +-= 解得1x =-或12x =-±则符合条件的点P 的坐标为: (1,4)-或()12,4-±-或()12,4--- 3.设直线AC 的解析式为y kx t =+,将(3,0),(0,3)A C -代入得30{3k t t -+==解得: 1{3k t ==即直线AC 的解析式为3y x =+设Q 点坐标为(,3)x x +,(30)x -≤≤,则D 点坐标为2(,23)x x x --+()2223923(3)324QD x x x x x x ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭∴当32x =-时, QD 有最大值94解析：18.答案：1.抛物线的表达式为234y x x =-++ 2.点P 的坐标为()2,6或()4,0;3.当 2t =时,PBC △的面积S 能取最大值8,此时P 点坐标为()2,6. 解析：19.答案：1.直线AD 解析式为114y x =--2.N 点的横坐标为:-2115; 3.PC 的值为:1025133-或4﹣465或2410135-或8654-. 解析：20.答案：1.抛物线的解析式为()21455y x =--+; 2.过点1C 作11C D A B ⊥于点D在1C DB △和COB △中111C BD CBD C DB COB C B CB =⎧⎪=∠⎨⎪=⎩ 1C DB CBD ∴≅∆14,2BD BO C D CO ∴====1(6,4)C ∴将6X =代入抛物线解析式求得2145y =≠ ∴抛物线不经过点1C 3.当4x =时,点(4,6)Q 解析：21.答案：1.223y mx mx m =+-. 2.当32x =-时,S 有最大值274; 3.当 1m =时,以A B C 、、三点为顶点的三角形与OBC △相似。