=
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r


r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1
2 1 1 1 exp 2 x a1 ( y a2 ) 2 2 1 (1 ) 2 2 1 1 2
2 2

边缘分布不是均匀分布！
当 – r < y < r 时，
r 2 y2

f ( x , y ) f X Y ( x y) fY ( y ) 1 , r 2 y2 x r 2 y2 2 2 2 r y 其他 0,
— 这里 y 是常数，当Y = y 时，
解: 从题意知,每月供应电力X~U(10, 30) , 而工厂 实际需要电力 Y~U(10, 20). 若设工厂每个月的 利润为 Z 万元,则按题意可得 当Y X ; 30Y , Z 30 X 10(Y X ), 当 Y X
在 X=x 给定时, Z 仅是Y 的函数,于是当 10x<20 时, Z 的条件期望为
r x
2
2

— 这里 x 是常数，当X = x 时，
Y ~ U r 2 x2 , r 2 x2


条件数学期望
定义3.6.2 如果随机变量 ξ 在 ( η = y ) 发生的条 件下的条件密度函数为 pξ|η ( x | y ) , 若

则称


| x | p | ( x | y)dx
20
30
700 25 300 225 433. 6
所以该厂每月的平均利润为433万元.
例3.6.4 随机个随机变量和的数学期望
设 X1，X2，… , 是一列独立同分布的随机变量， 随机变量 N 只取正整数值，且 N 与{ Xn }独立， 证明： n E X i E ( X i ) E ( N ). i 1 证明：由重期望公式知
二维正态随机变量,试求条件概率密度 pξ|η( x | y ) 及 p η | ξ(y | x ) . 解:
p ( x, y ) p | ( x | y ) p ( y )
1 2 1 2 1
2
e
( x a1 ) 1 2 2 2 (1 ) 1

2

力X服从 (10, 30) (单位: 104kW) 上的均匀分布,而 该工厂每月实际需要的电力 Y 服从 (10, 20) (单位: 104kW) 上的均匀分布.如果工厂能从电力公司得 到足够的电力,则每 104kW 电可以创造 30 万元的 利润,若工厂从电力公司得不到足够的电力,则不 足部分由工厂通过其他途径解决,由其他途径得 到的电力每104kW电只有10万元的利润.试求该厂 每个月的平均利润.
然后用X的分布对条件期望 E(Z|X=x) 再作一次平 均,即得
x
20
E ( Z ) E ( E{Z | X })
E ( Z | X x) pX ( x)dx E ( Z | X x) p X ( x)dx
10 20
30 1 20 2 (50 40 x x )dx 450dx 20 20 10

E{ | y} xp | ( x | y)dx
为 ξ 在 ( η = y ) 发生的条件下的条件数学期望,或 简称为条件期望. 同离散型情形相同,连续型随机变量的条件期望 也具有下述性质:
(1) 若 a b, 则 a E{ | y} b;
x y y lim p(u, v)dudv / y y y 0 F | ( x | y ) y y lim p (v)dv / y y 0 y x p(u, v)du x p (u , y ) du p ( y ) p ( y )
§ 3.6 条件分布与条件期望
定义3.6.1 称 P( ξ < x | η = y ) 为已知( η = y ) 发生
的条件下 ξ 的条件分布函数,并记作 Fξ|η( x | y ).
设 ( ξ, η ) 的联合分布函数为 F( x, y ), 它的密度 函数为 p( x, y ) ,我们不能象离散型随机变量那 样,利用 P( x | y) F | ( x | y ) P( x | y ) P( y) 来计算条件分布,因为对连续型随机变量来说, P( x, y ) 0, P( y ) 0
显然,这时 Fξ|η( x | y ) 关于 x 的导数存在,且有
p ( x, y ) p | ( x | y ) F ( x | y ) p ( y )
' |
我们称 pξ|η( x | y ) 为在已知 ( η = y ) 发生的条件 下 ξ 的条件概率密度.
完全类似地可以定义 F η | ξ(y | x ) 及 p η | ξ( y | x )
n n E X i E E X i | N i 1 i 1
E ( Z | X x) 30 ypY ( y)dy (10 y 20 x) pY ( y)dy 10 x x 20 1 1 30 y dy (10 y 20 x) dy 10 x 10 10 3 2 1 ( x 100) (202 x 2 ) 2 x(20 x) 2 2 50 40 x x 2 . 当20x 30 时, Z 的条件期望为 20 20 1 E ( Z | X x) 30 ypY ( y )dy 30 y dy 450 10 10 10
我们要利用连续性来计算条件分布
F | ( x | y) P( x | y)
lim P( x | y y y)
P( x, y y y ) lim y 0 P( y y y ) F ( x, y y ) F ( x, y ) lim y 0 F ( , y y ) F ( , y )
例3.6.2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的
均匀分布,求 f X Y ( x y ), fY X ( y x). 解 1 2 2 2
2, x y r f ( x, y ) r 其他 0, f X ( x) f ( x, y )dy
由 p( x, y) p( x | y) pY ( y), 可得
E( X )





xp( x, y)dxdy xp( x | y) pY ( y)dxdy




{ xp( x | y)dx} pY ( y)dy


其中括号中的积分不是别的,正是条件期望 E ( X | Y y)
f ( x, y ) f Y X ( y x ) f X ( x ) f X Y ( x y) fY ( y ) fY ( y )



f ( x, y ) f X Y ( x y ) f Y ( y ) fY X ( y x) f X ( x) f X ( x)
例 3.6.1 若 ( ξ, η ) 是 N(a1, a2, σ12, σ22, ρ ) 分布的
f X ( x) 0 fY ( y ) 0
类似于全概率公式
f X ( x) f ( x, y )dy f X Y ( x y ) fY ( y )dy fY ( y ) f ( x, y )dx fY X ( y x) f X ( x)dx
类似于Bayes公式
y 0
lim
y 0 x
x
y y
y y y y
p (u , v)dudv p (u , v)dudv p (u , v)dudv p (v)dv
lim
y 0
y y y y y
y
若 p( u, v ) 及 pη ( v ) 是连续函数,又 pη ( y ) > 0 则有