0
.
休息
结束
分布的性质：
2
1. 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从分布 2 N ( , ), 则
2
1

2 2 ( X ) ~ ( n ) i 2 i 1
n
2. 设 X 1 ~ 2 (n1 ), X 2 ~ 2 (n2 ), 且X1,X2相互 独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
( 2 ) X 和 s 相互独立.
休息 结束
比较：
( n 1 )S 2
2

n
( X i X )2
i 1
2
2 ( n-1 )
i 1

n
( X i )2
2
2( n )
1 n 2 2 其中 S ( Xi X ) n 1 i 1
休息 结束
n取不同值时
休息 结束
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
X~
2 N( 1 , 1
),Y ~
2 N( 2 , 2
)，且X与Y独立,
Y1,Y2,…,
X1, X2,…,
X n1 是取自X的样本,
Yn2 是
样本
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 均值， s 2 和s 2 分别是它们的样本方差, 1 2 则有：
( n 1 )S 2

2
的分布
休息
结束
定理 3 设 X1,X2,…,Xn 是取自正态总体 N( , 2 ) 的样本, X 和 s 2分别为样本均值和样本方差, 则有：
X S n
~ t( n 1 )
休息
结束
证明： X ~ N ( 0 ,1 ) n
( n 1 )S

n
~ N ( 0 ,1 )
休息 结束
n取不同值时样本均值 X 的分布
休息
结束
定理 2 ( 样本方差的分布 ) 设X1, X2, …, Xn 是取自正态总体 N( , ) 的样本, X 和 s 2分别为样本均值和样本方差, 则有：
2
(1)
( n 1 )s
2

2
2
~ 2( n 1 )
2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 2分别是这两个样本的样本方差, 均值, s1 和s2
则有：
休息 结束
X Y ( 1 2 ) Sw 1 1 n1 n2
~ t( n1 n2 2 )
其中
Sw 2
2 ( n1 1 )S1
n1 n2 2

X n1 F Y n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 ： F ~F ( n1 , n2 ) .
休息 结束
由定义可见，
1 Y n2 ~ F ( n2, n1) F X n1
休息
结束
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
( ) n1 n1 ( n2 )( n2 x ) n1 n 2 f ( x; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
2
2
X n ( n 1 )s
2
~ 2( n 1 )
独立

X S n
~ t( n 1 )

2
/( n 1 )
休息
结束
定理 4 (两总体样本均值差的分布)
设X ~ N ( 1, )，Y ~ N ( 2 , )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
n
事实上：
i 1
( Xi X
n
2 2
) X i nX
2 i 1
n
2
2 1 n 2 故有： S Xi X n 1 i 1 n1 2
n
休息
结束
定理 设总体X有 EX=μ, DX=σ2， X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的样本，则：
EX
DX
休息 结束
§6.1 随机样本 1.总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象。
研究对象的全体称为总体(母体)，
总体中每个成员称为个体。
休息
结束
在数理统计中，总体这个概念
的要旨是：
———总体就是一个概率分布。
25 20
15
10
5
0 -500
0
500
1000
1500
2000
休息
结束
容量为 n 的样本（也称为子样）可以 看作 n 维随机变量： ( X , X , … , X )
1 F1 ( n1 ,n2 )
F(n2 ,n1 )
1 令： F 则 F F(n2 ,n1 ) F x 1 P{ F } F1 ( n1 , n2 ) 1 F1 ( n1 ,n2 ) 1 F ( n2 ,n1 ) F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )
休息 结束
T 的密度函数为：
1 [( n 1 ) 2 ] x 2 n f ( x;n ) (1 ) 2 n ( n 2 ) n
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为: E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对 n >2
休息 结束
抽样分布

精确抽样分布 （小样本问题中使用） 渐近分布
（大样本问题中使用)
休息
结束
三大抽样分布
2 分布 1、
定义: 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态
分布N(0,1), 则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为： ~ (n)
2 2
休息 结束
1 2 n
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 ( x1 , x2 , … , xn )，称为样本 的一次观察值，简称样本观察值 。
休息
结束
最常用的一种抽样方法叫作“简单
随机抽样”，它要求抽取的样本满足下 面两点:
休息
结束
1. 代表性： X1 , X2 , … , Xn 中每一个
与所考察的总体有相同的分布。 2. 独立性： X1 , X2 , … , Xn 是相互独 立的随机变量。
第六章 样本及抽样分布
休息
结束
本章转入课程的第二部分
———数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支较多。 社会的发展不断向统计提出新的问题。
休息
结束
需要强调说明一点： 统计方法具有“部分推断整体”的 特征 。 因为我们是从一小部分样本观察值 去推断该全体对象（总体）情况，即由 部分推断全体。 这里使用的推理方法是 “归纳推理”。
F( n1 ,n2 )
1
一般地，
1 F1 ( n1 ,n2 ) F F1 ( n1 ,n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 ( n1 ,n2 ) y 1 1 P{ } F F1 ( n1 ,n2 )
2 2 S1 1 2 2 S2 2
~ F ( n1 1,n2 1 )
休息 结束
证明：
2 ( n1 1 )S1 2 1
~ 2 ( n1 1 )
2 ( n2 1 )S 2 2 2
~ 2 ( n2 1 )
独立
2 ( n1 1 )S1 2 1 2 ( n2 1 )S 2 2 2
样本
样本值
休息
结束
§6.2 抽样分布 1. 统计量及其抽样分布
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布 称为抽样分布。
休息
结束
2. 样本均值及其抽样分布 1. 样本均值
1 n X Xi n i 1
反映了总体均值的信息
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结束
定理: 设 X 1, X 2 ,, X n 是来自某总体X的样 本, X 为样本均值。 1. 若总体分布为 N( μ,σ2), 则 的精确分 X 布为 N(μ, σ2/n ) ；
X
2. 若总体分布未知或不是正态分布， 则 X 的渐近分布为 N(μ, σ2/n ) ；
休息 结束
2. 样本方差与样本标准差
它反映了总体方差 的信息
样本方差
1 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
2
n
样本标准差
S
1 2 ( Xi X ) n 1 i 1
休息 结束
休息
结束
由简单随机抽样得到的样本(子样）称 为简单随机样本（子样）。 用（ X1 , X2 , … , Xn ）表示。
简单随机样本是应用中最常见的情形，
今后，当说到（ X1 , X2 , … , Xn ）是取自
某总体的样本时，就指简单随机样本。
休息
结束
3. 总体、样本、样本值的关系
总体（理论分布）
2 ( n2 1 )S2
休息
结束
证明： X Y ~ N( 1 2 ,
2
n1

2
n2
)
2 2 Y ( 1 2 E(X X Y Y) ) 2) D( X ∴ ~ N ( 0 ,1 ) 1 n1 1 n2 n1 n2
X Y ( 1 2 ) ∴ t(n 1 n2 ~ t( t n1 ) 2) 2 1 1 1 1 1 S S w 2 1 n n n n 1 n 1 1 2 2
n1 n2 2
n1 1 2
1 x