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线性代数习题1.5行列式按行(列)展开
n n1
线性代数
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§1.5 行列式按行(列)展开
现在假设结论对于 n 1 阶范德蒙德行列式成 立,要证结论对 n 阶范德蒙德行列式也成立,为 此,要将 Dn 降阶, 将前一行乘以 x1 加到后一行上 (从后往前)
1 x1
1 x2 x x
2 2
1 x3 x x
1
例1. 设D
2 3 0 5
4
1 0 6
按第二列展开得
D 2
4
5
1 6
0
1
3
1 6 5
0
1 3 4 5 0
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2 29 58
按第一行展开得
D 1
线性代数
0 5 0 6
2
4
1 6
3
4
1 0
2 29 58
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§1.5 行列式按行(列)展开
n
D ,当 i j , aik A jk k 1 0 ,当 i j;
n
3. 牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.
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§1.5 行列式按行(列)展开
4. 行列式的计算方法:
1).依定义计算行列式; 2).用对角线法则计算行列式; 仅适用于二、三阶行列式 3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式. 三角形行列式 一行(列)全为零的行列式 两行(列)成比例的行列式 范德蒙行列式
a11 a1 j a1n i 1 D 1 ai 1,1 ai 1, j ai 1,n ai 1,1 ai 1, j ai 1,n an1
线性代数
anj
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ann
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§1.5 行列式按行(列)展开
再把第j列依次与第 j 1列,第j 2列, ,第 1列对调,得
n 2 x2
1 x3
1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1 阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
证毕
a1 b1 c1 d1
bn
递推法
dn
bn1 0
0 a n1
a1 b1 c1 d 1
bn1
D2n a n cn1 0
线性代数
( 1)2 n1 bn
d n1 0 0 dn
首页
c n1 cn
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d n1 0
结束
§1.5 行列式按行(列)展开
ai1 ai 2 ain
推论:n 阶行列式 D
i行 s行
a s1 a s 2 a sn
的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应的
代数余子式的乘积之和为零,即
ai1 As1 ai 2As 2 ain Asn 0 , i s
a1 j A1t a2 j A2 t anj Ant 0, j t .
1 aij M ij aij Aij
i j
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证毕
结束
§1.5 行列式按行(列)展开
定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与
其对应的代数余子式乘积之和,即
按i行展开 :
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain i 1,2,, n
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§1.5 行列式按行(列)展开
1 2 ex : 2 2 23
1 3 32 33
1 4 42 43
1 5 52 53
(3 2)(4 2)(5 2) (4 3)(5 3)
(5 4)
12
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§1.5 行列式按行(列)展开
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§1.5 行列式按行(列)展开
a11 a12 a1n ai 1 0 0 a n1 a n 2 a nn
a11 a12 a1n 0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn
n i j 1
x
n1 2
x
n 1 n
1
证: 用数学归纳法 x2 x1 x3 x1 xn x1 1 1 ( x3x x xx D2 x x 2 ni 2 j), x 2 1 x1 x 2 2 i j 1 当 n 2 时( 1 )式成立. x x
a11 a12 a1n 0 0 a in ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n a n1 a n 2 a nn
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§1.5 行列式按行(列)展开
an1
D2 n a n cn1 0
a1 b1 c1 d1
bn1 0
( 1)2 n1 bn
0 a n1
a1 b1 c1 d 1
bn1
再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 n a1 b1 a1d1 b1c1 于是 D2 n (ai d i bi ci ) D2 ,而 D2 i 2 c1 d1 n 所以 D2 n (ai d i bi ci )
中,划去元素aij所在的第i行和第j列,余下的元素按原 来的顺序构成的n-1阶行列式,称为元素aij的余子式. 元素aij的余子式记作Mij ; 元素aij的代数余子式记作Aij=(-1)i+jMij.
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§1.5 行列式按行(列)展开
1
0
4 7 ,求M 32和A32 . 3
3
例2. D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
5
1
1 ( 1)3 3 11 1 1 5 5 0
1 1 1 3 1 11 1 解:D 0 1 0 0 5 5 3 0 1 6 2 0
5
11 1 1 5 5 0
第三行只 有1个非零 的元素, 故按该行 展开
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§1.5 行列式按行(列)展开
3
例5. 设 D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
1. D 40
; ; .
2.2 A14 4 A24 A34 3 A44 40 3.2 A11 0 A12 A13 A14
n
1 ,当 i j, 其中 ij 0 ,当 i j .
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§1.5 行列式按行(列)展开
内容小结
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列 式化为低阶行列式计算的重要工具.
D ,当 i j , 2. aki Akj k 1 0 ,当 i j;
19
ex1. 设 D 3 9 2 1
M 32
1 4 3 7
3 2
A32 ( 1)
1 4 3 7
19
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§1.5 行列式按行(列)展开
二、行列式展开定理
引理 一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元 素除 a ij 外都为零,那末这行列式等于 a ij 与它的
a 22 0 a 42
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§1.5 行列式按行(列)展开
证: 当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
i 1
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d n1 0 0 dn
c n1 cn
d n1 0
§1.5 行列式按行(列)展开
例4. 范德蒙行列式
1 x1
1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
D x1 , x2 , , xn x12 x
n 1 1
( xi x j )
2 3
1 xn x
2 n
x1r1 x1r2
Dn x
x
线性代数
rn x1rn1
r3 x1r2 r2 x1r1
2 1
n1 1
n1 2
n1 3
x
n1 n
x1rn1
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§1.5 行列式按行(列)展开
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 )