20 42 12 1080.
【练习】计算
3
1
1 3 1 3 1
2 4 1 3
解
5 1 D 2 0 1 5 1 1 0 5 1 3 1 3
c1 2c3 11 D c4 c3 0
5
5
r2 r1
1 ( 1) 3 3 11 1 1 0 5 5 0 0
D中项 aij a1 j1 ai 1 ji1 ai 1 ji1 anjn 符号为
(1)
( i 1( i 1)( i 1)n) ( jj1 ji 1 ji 1 jn )
i 1
(1)
(1)
(1)
j 1 ( j1 ji 1 ji 1 jn )
Aij 1
i j
M ij， 称为元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a11 a12 a14 a 24 M 23 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 a 34 a 44 A 12 3 M M . 23 23 23
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
选1、3行，2、4列，得到D的一个2阶子式 M M的余子式 N
1
8
i j
(1)
( j1 ji 1 ji 1 jn )
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
1 x2
n 2 x2
1 x3

1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 1
0 Dn 0 0
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
x3 x1 x3 ( x3 x1 )

xn x1 xn ( xn x1 )
n 2 n 2 x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
，称为 M 的代数余子式.
其中 i1 , i2 , , ik , j1 , j2 ,, jk分别为 k 阶子式在 D 中的 行标、列标,记 A (1)( i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) N
例如
2 1 0 8 4 3 0 0 D 0 2 1 5 0 4 7 0
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0, (i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ). 命题得证.
二、行列式按某k行(列)展开(Laplace定理)
定义2 在 n 阶行列式D中,任意取定 k 行, k 列 (1 k n),
位于这些行和列交叉处的 k 2个元素，按照原来的顺序
构成一个 k 阶行列式 M ，称为 D 的一个 k 阶子式. 定义3 划去这 k 行 k 列，余下的元素按照原来的顺序 构成一个 n k 阶行列式N，称为 M 的余子式.在其前面 冠以符号(1)
( i1 i2 ik )( j1 j2 jk )
( 1)n1 ... ... 0 0 a n 1 a a n 2
a n ( 1)n 1 ( 1)1 n1
a n a n 2
例3
证明范德蒙 (Vandermonde)行列式(n≥2)
1 x1 1 x2
2 x2

1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1
n 1
aij Aij中每一项可写成
aij ( 1)i j M ij aij ( 1)i j [( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn ] ( 1)i j ( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) aij a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn
1 3
5
1
1
5
1
1
6 2 0 ( 1) 5 5 0
6
2
5 5
40.
【注】 直接应用按行(列)展开定理计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式, 因此, 计算行列式时,一般选择行(列) 中零元素多的行(列)展开; 或者先利用行列式性质将某行(列)化为仅含一个非零 元素, 再按此行(列)展开, 化为低一阶行列式, 如此继续 下去, 直到化为三阶或二阶行列式求解.
1 0 1 5 0
0 4 1 4 0
0 2 3 1 2 0 4 1 4 0 2 3 5
2 3 1 2 3 1 r2 2r1 2 5 4 1 4 10 0 7 2 r3 r1 2 3 5 0 6 6
10 2 7 2 6 6
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
即 i 行元素与 j 行对应元素的代数余子式乘积之和为0. i 列元素与 j 列对应元素的代数余子式乘积之和为0.
【注】本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂， 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需 要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次 序等)将此行列式化成范德蒙行列式, 然后根据公式计算 出结果.
推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即

n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
证 用数学归纳法
1 D i x j ), 2 i j 1 x2
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立，要证明 对于n阶范德蒙行列式，结论也成立. 对于n阶范德蒙行列式，从第n行开始依次减去上一行的 x1倍，得到 1 1 1 1
2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn 1 1 2 3 n 1 22 32 n2 1 2n 1 3n 1 . n n 1
解 每一行提取各行的公因子，于是得到
1 Dn n ! 1 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范 德蒙行列式知 D n n ! ( i j ) n !(2 1)(3 1)(4 1)( n 1) n i j 1 (3 2)(4 2) ( n 2) (4 3) ( n 3) [n ( n 1)] n !( n 1)!( n 2)! 2!1!.
往证 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain () 证明思路: ① (*)式两端所含项数相同, 并且各项互不相同; ② 右端 aij Aij 每一项都是D中的项, 并且带有相同的符号. a11 a1 j 1 a1 j 1 a1n
M ij ai 11 ai 1 j 1 ai 11 ai 1 j 1 a n1 anj 1 ai 1 j 1 ai 1 n ai 1 j 1 ai 1 n anj 1 ann
j 1, 2, , n
【说明】行列式按某行(列)展开是“降阶”简化计算行 列式的重要方法.
例1 计算行列式
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
解
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3
5
2 5
3
1 2
D 0 2 0 2
§1.3 行列式按行(列)展开
分析三阶行列式的一个规律： 现以第二行元素为标准, 将 各项分组 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
( xi x j ).
1 5 25 125
n i j 2
( xi x j )
【练习1】计算
1 1 1 2 4 3 (2 5)(4 5)(3 5) 4 16 9 (4 2)(3 2)(3 4) 12 8 64 27
【练习2】 计算
1
1

1
证明
det( aij ) 按第 把行列式 D a aik ( kj行展开有 1, , n) 可得 把行列式中的 jk 换成 a11 a1n
第i 行 ai 1 ain 相同 ai 1 A A a A Dj 1 aa A a A =0 i 2 j 1j 2 in jn jn j1 jn aij11 aajn 第j行 in an1 ann
a21 (a12a33 a13a32 ) a22 (a11a33 a13a31 ) a23 (a11a32 a12a31 )