则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作

业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
a11a22
ann .
1.3.3 n阶行列式的计算
计算方法主要有两种：
1.化三角线法
2.降阶法
例1 计算下列行列式
1 1 1 3
2 3 0
0 1 1 1 2 1 1
a a a a
b 2b 3b 4b
c 3c 4c 5c
d 4d 5d 6d
1 0
例2 计算行列式
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

i 1,2, 3
1
2 -4
例1
计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2
解
按第一行的展开式，有
D 121 Nhomakorabea4 2
2
2
1
3 2
( 4 )
2 2 3 4
4 4 2(4 3) 4( 8 6)
8 14 8 14.
假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立. 对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri –x1ri-1 ( i = n, n–1, · · · , 2, 1 ). 得
1 1 1 0 x 2 x1 x 3 x1 Dn 0 x 2 ( x 2 x1 ) x 3 ( x 3 x1 ) n 2 ( x x ) x n 2 ( x x ) 0 x2 2 1 3 3 1
提示：按第一列拆开,再提取公因子
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 1 1 x1 x2 xn 2 2 2 Dn x1 ( x i x j ). x2 xn n i j 1 n1 x n1 x n1 x1 2 n
(1)
证: 用数学归纳法 1 1 x 2 x1 ( x i x j ), D2 x1 x 2 2 i j 1 所以, 当 n=2 时, (1)式成立.
D, i j k 1 aik Ajk 0, i j
n
D, i j k 1 aki Akj 0, i j
n
上(下)三角行列式计算公式
a11 a21
0 a22
0 0 ann a1n a2 n ann
a11a22
ann .
a n1 a n 2 a11 a12 0 a22 0 0
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M12 M 12
a11 a12 M 44 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
A44 1
4 4
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ai 3 Aj 3 0, i j
因此
D,当i j aik Ajk k 1 0,当i j
3
D,当i j aki Akj k 1 0,当i j
3
1.3.2 n阶行列式的按行(列)展开
定理5 n阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
§1.3 行列式的按行(列)展开
1.3.1 三阶行列式的按行(列)展开
对于三阶行列式，容易验证：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a a a a a a 22 23 a 21 23 a 21 22 a a a a 11a 12a 13a
32 33 31 33 31 32
M 44 M 44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个代数余子式.
利用代数余子式，可得
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a a22 a23 a a21 a23 a a21 a23 11 12 13 a a a a a a 32 33 31 33 31 33 a31 a32 a33
有:
1 x n x1 x n ( x n x1 ) n 2 ( x x ) xn n 1
按第一列展开, 并把每列的公因子( xi –x1 )提出, 就
1 1 1 x x3 xn Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) 2 n 2 x n 2 x n 2 x n–1阶范德蒙德行列式 2 3 n
a14 a24 a34 a44
a21 a22 例如：D a31 a32 a41 a42
A23 1
2 3
a11
a12
a14 a34 a44
M 23 a31 a32 a41 a42
M 23 M 23 .
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算.
定义： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 aij 的 余子式. 记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 aij 的代数余子式.
i j
a11
a12
a13 a23 a33 a43
1 1 1 0
1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 ( n 3) . n
提示1：所有行之和为常数 提示2：由于行列式中大部分元素均为3，若将 行列式的第三行的(-1)倍分别加到其余各行，将 使这些行中的3全部化为零。
例3 计算行列式
ax + by ay + bz az + bx D = ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz