第一章 绪论一、填空题1、 已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、 设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则 ⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为 ； ⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为 ； ⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为 。

二、为使20的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分大时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。

四、在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=⎰n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；第二章 插值法１、在互异的n+1个点处满足插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不高于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯一 (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯一2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)自身 （D ）次数超过n 3、 插值基函数的和∑=nj jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、 设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法(Ａ)构造性 (Ｂ)解方程组 (Ｃ)拉格朗日 (Ｄ)牛顿６、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)高次７、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分段插值方法为（ ）.（Ａ）分段线性插值 （Ｂ）分段抛物插值 （Ｃ）分段三次埃尔米特插值 （Ｄ）三次样条插值。

８、差商与差分的关系式为f[x 0,x 1,…,x k ]=（ ）,f[x n ,x n-1,…,x n-k ]=（ ）。

（Ａ）k n k h k f !∆ （Ｂ）k k h k f !0∆ （Ｃ）k n k h k f !∇ （Ｄ）kk h k f !0∇二、填空题1、插值问题是指。

通常称 为插值函数， 为插值区间， 为被插值函数， 称为插值节点。

2、讨论代数多项式插值问题的原因是 。

3、Lagrange 插值多项式为_________________ 。

4、设函数Y=F(X)在[a,b]上的n 阶导数()()X F n 连续，()()X F n 1+在（a,b ）内存在，Ln(x)是F(X)在n x x x ,,,10 处的n 次Lagrange 插值多项式，则对[a,b]中每一个点x 存在依赖于x 的点[]b a x ,∈ξ，使插值余项R(x)= 。

其插值误差与 有关。

5、牛顿插值公式为 ________________。

6、埃尔米特插值问题是解决 。

7、样条插值问题的提法是 。

记 称为S(x)在节点k x 处的弯矩。

称为三弯矩法。

８、已知函数Y=F(x)的观测数据为X 1 2 3 4 Y-5-63则三次Lagrange 插值多项式为。

三、已知函数表：X 0.32 0.340.36Y=sinX0.3145670.333487 0.352274分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin0.3367的近似值，并估计截断误差。

四、已知F(x)=Shx 的函数值X 0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 Y0.410750.578150.696750.888111.026521.25382求()x N 3，再由()x N 3增加节点x=0.9求()x N 4，并计算F(0.596)的近似值。

五、给定f(X)=cosX 的函数值 X0.00.10.20.30.40.50.6F(X) 1.0 0.995 0.98006 0.95533 0.92106 0.87758 0.82533求cos0.048及cos0.575的值，并估计余项。

六、给定函数表为X 2.2 2.4 2.6 F(x)0.5207843 0.5104147 0.4813306 ()x F '-0.0014878-0.1004889-0.1883635利用Hermite 插值求F(2.5)的近似值。

七、已知函数Y=F(x)的函数值X 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 F(x)0.50000.54770.62450.67080.7280求三次样条插值函数S(x)，使其满足()()053.025.0""==S S 。

八、设f(x)=22511x +在［-１，１］上，取n=5,按等距节点求分段线性插值函数()x I h ,并求各节点中间处()x I h 的值。

九、证明：n 次拉格朗日插值基函数()x L 0可写成()()()()()()()()()()()n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ------++----+--+=-0201011020101010001十、证明：n 阶差商的下列性质：⑴若F(x)=cf(x),则F[n x x x ,,,10 ]=cf[n x x x ,,,10 ]； ⑵若F(x)=f(x)+g(x)，则F[n x x x ,,,10 ]=f[n x x x ,,,10 ]+g[n x x x ,,,10 ]。

十一、数值试验题１、已知由ＭＡＴＬＡＢ生成的一组原始数据t=linspace(0,5,100);y=1-cos(3*t).*exp(-t)，确定它们所代表的函数穿越95.0=y 线的时刻。

（１）通过图形初步判断第一个穿越时刻(利用plot 与ginput)； （２）利用插值获得较准确的穿越时刻（分别利用一维插值interp1之中的nearest 、cubic 、spline 选项）；（３）利用求零点语句fzero 求穿越时刻，以便与（2）比较（可以不作）。

２、利用MATLAB 环境（１）画出函数f(x)=cos(x)在区间[0,pi]上的图形；（２）分别画出将上面区间等分成Ｎ＝４，1０，１００时的分段线性插值的图形。

第三章 函数逼近与曲线拟合一、选择题１、函数逼近的基本问题：(1)选定逼近函数类型，如( )、( )、( )(2)按一定逼近目标求逼近函数，如( )、( )、( )等最佳逼近问题 (3)研究逼近函数的( )、( )及( )等理论问题 (Ａ)三角多项式 (Ｂ)代数多项式 (Ｃ)简单函数 (Ｄ)最佳一致逼近 (Ｅ)最佳平方逼近 (Ｆ)最小二乘逼近 (Ｇ)存在唯一性 (Ｈ)收敛性 (Ｉ)误差估计 ２、设f(x)∈Ｃ[a,b]，m 和M 分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)的零次最佳一致逼近多项式为( )。

(Ａ)Ｍ (Ｂ)ｍ (Ｃ))(21m M - (Ｄ))(21m M + ３、)(x T n 在[-1,1]上的零点为k x ＝( ),(k=1,2,…,n)；极值点为k x ＝( ), (k=0,1,…,n),其极大极小值交替为 ( )。

（Ａ）n k πcos（Ｂ）πn k 212cos- （Ｃ）πn k 212cos + （Ｄ）πnk 1cos - ４、在最高次项系数是１的一切n 次多项式中，于区间[-1,1]上与零有最小偏差的多项式为( )。

(Ａ))(x T n (Ｂ))(211x T nn - (Ｃ)121-n (Ｄ))(21x T n n ５、对于连续函数f(x)，x ∈[a,b]，常用的范数有：∞)(x f ＝( )；1)(x f ＝( )；2)(x f ＝( )。

(Ａ)212))((⎰badx x f (Ｂ)2)(max x f bx a ≤≤ (Ｃ))(max x f bx a ≤≤(Ｄ)⎰b adx x f )( (Ｅ)⎰badx x f )(６、在所有首项系数为１的n 次多项式中，首项系数为１的n 次( )在[-1,1]上与零的平方逼近误差最小。

(Ａ)切比雪夫多项式 (Ｂ)勒让德多项式 (Ｃ)拉盖尔多项式 (Ｄ)埃尔米特多项式二、填空题１、Weierstrass 定理说明，定义在闭区间上的任何连续函数f(x)可以用________逼近到任意精确的程度。

２、对f(x)∈Ｃ[a,b]及任给的ε＞０，求n 次多项式P n (x)，使ε<-∞)()(x p x f n则称P n (x)为[a,b]上f(x)的 ，称在无穷范数意义下的逼近为_______________________；而称达到最小偏差的多项式为 ，该问题称为 。

３、对定义在[a,b]上的函数y=f(x)，求n 次多项式P n (x)，使min )()(2=-x p x f n则称P n (x)为 ，称在２范数意义下的逼近问题为 。

4、切比雪夫多项式为___________________________________； 多项式序列)}({x T n 关于权函数212)1()(--=x x ρ为＿ 。

８、函数31,,12-x x 在[-1,1]上的关系是__________。

９、对于超定方程组Ax=b ，用最小二乘法导出的法方程组为__________。

二、在区间[]π,0上给定函数x x f sin )(=，求其在},,1{2x x span =Φ上的关于1)(≡x ρ的最佳平方逼近多项式，并估计其误差。

三、求a,b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 达到最小。

四、利用勒让德多项式为基，求f(x)=x ４在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差22δ。

五、求解超定方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-4321212121x x x x x x 。

六、用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。

x 19 25 31 38 44 y19.032.349.073.397.8七*、数值试验题： １、对给定数据表 X -0.75 -0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75y 0.33 0.88 1.44 2.00 2.56 3.13 3.71 试分别用Matlab 中的函数polyfit 作一次、二次、三次多项式拟合，并比较优劣。