第一章题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1） （1） 3()432f x x x =-+ （2） （2） 43()2f x x x =- 解 （1）(4)()0fx =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x -=----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---.题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤.证 由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-=--，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max ()8x x x x x f x ≤≤-''≤.题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式()p x ：（1） （1） 用待定系数法；（2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式()p x .解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x '=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩23()2p x x x ∴=-；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+-，2()22(1)p x x bx x bx '=+-+ ，代入(1)1p '=，得1b =-，2223()(1)2p x x x x x x ∴=--=-.题33 设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++-≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解 由(1)2S =得212b c ++-=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<'=⎨++<<⎩，由(1)5S '=得625b c ++=，21b c ∴+=-；联立两方程，得2,3b c =-=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧''=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S -+''''==， ()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35 用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解 记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+-+--++-++-令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 题372y a bx =+解 拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2） 10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()()224()11133()()4244x x A l x dx dx --===--⎰⎰， 11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx --===---⎰⎰，11220011()()242()31313()()4442x x A l x dx dx --===--⎰⎰，10211123()()()()343234f x dx f f f ∴≈-+⎰，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==⎰⎰， 右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f -+=⋅-⋅+⋅=， 左边＝右边， 当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==⎰⎰， 右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f -+=⋅-⋅+⋅=， 左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx⎰.解 辛甫生法 1.51.1xe dx ⎰()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546-≈+⨯+=；复化梯形法1.51.1xe dx ⎰()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+⨯+=.题17 用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+⎰.解 先做变量代换，设)(1+21=t x ，则 1204d 1x x +⎰＝112112418d d 24(1)1(1)4t t t t --⋅=++++⎰⎰()2225888589994014141≈⨯+⨯+⨯++⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b '=+，(0)0y =： （1） 试导出近似解n y 的显式表达式； 解 （1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b -----=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b ---=+⋅+100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb --=+++++(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++-+-+2(1)/2ah n n nhb =-+题10 选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解 将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++ ()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +'''=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =， 12q =时， 311()()n n y x y O h ++-=.第四章题 2 证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解 设1()cos 2f x x x=-，则()f x 在区间(,)-∞+∞上连续， 且11(0)cos 0022f =-=-<，1()cos 022222f ππππ=-=>， 所以()f x 在[0,]2π上至少有一根； 又1()1sin 02f x x '=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根. 迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈； 1()sin 2g x x '=-，1()12g x '≤<，由压缩映像原理知0[0,]2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛. 注 这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)-∞+∞等. 题5 考察求解方程1232cos 0x x -+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１） （１） 证明它对于任意初值0x 均收敛；（２） 证明它具有线性收敛性；证 （1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈-∞+∞，()(,)g x ∈-∞+∞；又 22()sin 133g x x '=-≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k kx x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞-'==-≠-（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7 求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１） （１） 改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+； （２） （２） 改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解 （1）3232211011x x x x x x --=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+ [1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<， ()[1.3,1.6]g x ∴∈；又 32()g x x '=-， 333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x ---≤≤，()0.91031g x '≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛； （2）3232101x x x x x --=⇔=+⇔1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x '=00.4912≤≤≤=，()0.49121g x '≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=.题5 分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=-+⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，迭代发散； 其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=-+⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭347605/32/33001/52/5⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以412x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。