1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。

求得，⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0021)()(2x x edx x dF x f x（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F 在A>0时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+成立，必须使A=1。

所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。

同理，⎩⎨⎧<≥>==00012)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足1)(=⎰∞∞-dx x f ，也必须使A=1。

所以，⎩⎨⎧<≥>==0012)(x x x x f（3）0)]()([)(>--=a a x u x u axx F 上式可改写为000)]()([)(>⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=a ax a x u x u axx F 其他对于12x a x >>，)()(12x F x F ≥不成立。

所以，)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。

（4）0)()()(>---=a a x u a xa x u a x x F 0)()]()([>---+=a a x u a x u x u ax30120100>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-<≤<=a x a x aa x x ax 当x a <时，不满足1)(0≤≤x F ，所以)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。

第二次作业：练习一之4、5、6、7题1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。

解：因X 在[α，β]上均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧β≤≤αα-β=其他下01)(x f⎰⎰βα∞∞β+α=α-β==2d d )(]E[-x x x x xf X )2(31d d )(]E[222-22β+β+α=α-β==⎰⎰βα∞∞x x x x f x X222-2)(121])X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β=-=-=⎰∞∞x x f x X1.5 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其他101)(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。

解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5于是有 ⎩⎨⎧≤≤=其他0615/1)(y y f Y1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ⋅⋅⋅上均匀分布，且互相独立。

若∑==n1i i X Y ,求（1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。

（2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。

解：n i bx a a b x f i i ,,2,101)(⋅⋅⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其它4n=2时，)()()(21y f y f y f X X Y *=111)()()(21dx x y f x fy f X X Y ⎰∞∞--=⎰-⋅-=badx a b a b 111 ab -=1同理，n=3时，)(y f Y ab -=11.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期望、方差及X 和Y 的相关矩。

解：数学期望：23][--=m Y E方差： σ=-σ-=90)3(][2Y D]23[)]23([][2X X E X X E XY E R XY --=--== 222])[(][][m X E X D X E +σ=+=相关矩： m m R XY 2332---=σ 第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布，且互相独立。

对于a b <，证明：a bY b x P π2)cos (=<证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它001)(ax a X f 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它0202)(ππy Y f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤⇒⎭⎬⎫<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos <)20,cos 0()cos (π≤≤<≤=<y y b x p y b x p⎰⎰=2/0cos 0),(πyb dxdy y x f dy5⎰⎰=2/0cos 0)()(πyb dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立⎰⎰⋅=2/0cos 021ππyb dxdy a dy⎰⋅=2/0cos 2ππydy a bab π2=命题得证1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定⎩⎨⎧+=+=2111221111Y d Y c X Y b Y a X ⎩⎨⎧+=+=212211dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-=证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y),(2121y y f Y Y =J1),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=22122111 ),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bcad y y f X X Y Y ++-=1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2,0)sin(),(π≤≤+=y x y x A y x f XY 求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。

解：6（1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=∞∞-∞∞-2222202sin cos cos sin )sin(),(ππππππydy xdx A ydy xdx A dxdy y x A dxdy y x f XY12==A21=A （2）ydy x ydy x dy y x dy y x f x f XY X sin cos 21cos sin 21)sin(21),()(22020⎰⎰⎰⎰+=+==∞∞-πππ)cos (sin 21x x +=同理 )cos (sin 21)(y y x f Y +=⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+==202020202sin 21cos 21cos 21sin 21)cos (sin 21πππππy yd y yd ydy y ydy y dy y y y m m Y X⎰⎰-++-=2020sin 2102sin 21cos 2102cos 21ππππydy y y ydy y y4π= （3）⎰⎰+--=+-==202022)4cos()4(22)cos (sin 21)4(][][πππππy d y dy y y y Y D X D dy y y y y ⎰+-++--=202)4cos()4(22202)4cos()4(22ππππππ⎰+-+=22)4sin()4(216ππππy d yy d y y y ⎰+-+-+=22)4sin(202)4sin()4(216ππππππ22162-+=ππ（4）相关矩⎰⎰⎰⎰-=+===202202012)sin(21),(][πππππdxdy y x xy dxdy y x xyf XY E R XY XY协方差1162][][2--=-=ππY E X E R C XY XY相关系数32816822-++--==ππππσσY X XY XYC r7第四次作业：练习一之12、13、14、15题1.12 求随机变量X 的特征函数，已知随机变量X 的概率密度02)(≥=-x e x f x X α解： ⎰∞∞-=dx ex f Φxj X X ωω)()(⎰∞∞--=dx e e t u x j x ωα)(2利用傅氏变换：ωααj e t u t +-1~)(ωαωj ΦX -=2)(1.13 已知随机变量X 服从柯西分布221)(xx f X +=ααπ，求他的特征函数。