随机信号分析习题一：
1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,
0 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。

并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为
(), 0, 0(,)0 , other
x y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩， 求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1
),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y
（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y
4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3
()Y g X X X ==-。

（1）求Y 的可能取值
（2）确定Y 的分布。

（3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为： )()(3
1)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ 试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：
ϕϕ
sin cos ==Y X
ϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2
bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？
9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y
\
10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数
22
2W X Y Z X ⎧=+⎨=⎩
设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数
2()
W X Y Z X Y =+⎧⎨=+⎩ 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1,()0X a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩，
其它
（1）求X 的特征函数,()X ϕω。

（2）由()X ϕω，求[]E X 。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。

14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞
=，则n X 必依概率收敛于X 。

15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。

若l.i.m n n X X →∞=，l.i.m n n Y Y →∞=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞
→∞=。