an＋1 p an 1 an 递推公式两边同除以 q ，得 n＋1＝q· n＋ ，构造新数列{bn}其中bn＝ n， q q q q
n ＋1
1 p 得 bn＋1＝q· bn＋q，接下来用待定系数法求解．
m (6)取对数法：形如 an＋1＝pan (p>0，an>0)，先在原递推公式两边同时取对数，
(3)证明：因为 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 1 所以 xn≥ n－1. 2 xnxn＋1 由 2 ≥2xn＋1－xn 1 1 1 1 得 －2≥2x －2>0， xn＋1 n
1 1 1 1 n－1 1 1 所以x －2≥2x －2≥…≥2 x －2＝2n－2， 1 n n －1 1 故 xn≤ n－2. 2
[高考真题回访] 回访 1 数列求和 1．(2014· 浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an＝( 2)bn(n∈N*)．若{an} 为等比数列，且 a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求 an 与 bn； 1 1 (2)设 cn＝a －b (n∈N*)．记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. n n ①求 Sn； ②求正整数 k，使得对任意 n∈N*，均有 Sk≥Sn.
[ 解] (1)由题意知 a1a2a3…an＝( 2)bn，b3－b2＝6， 知 a3＝( 2)b3－b2＝8. 又由 a1＝2，得公比 q＝2(q＝－2 舍去)， 所以数列{an}的通项为 an＝2n(n∈N*)， nn＋1 所以，a1a2a3…an＝2 2 ＝( 2)n(n＋1)． 故数列{bn}的通项为 bn＝n(n＋1)(n∈N*). 1 1 1 1 1 * (2)①由(1)知 cn＝a －b ＝2n－n－n＋1 ( n ∈ N )， n n 1 1 所以 Sn＝ －2n(n∈N*). n＋1 7分 5分 2分
专题二 数 列 突破点 5 数列求和及其综合应用
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(对应学生用书第 19 页) [核心知识提炼] 提炼 1 an 和 Sn 的关系 若
S1，n＝1， an 为数列{an}的通项，Sn 为其前 n 项和，则有 an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
(2)证明：由 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得 xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x2 n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1). 记函数 f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， 2x2＋x f′(x)＝ ＋ln(1＋x)>0(x>0)， x＋1 函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)≥f(0)＝0， 因此 x2 n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， xnxn＋1 故 2xn＋1－xn≤ 2 (n∈N*). 10 分 7分
在使
用这个关系式时，一定要注意区分 n＝1，n≥2 两种情况，求出结果后，判 断这两种情况能否整合在一起.
提炼 2 求数列通项常用的方法 (1)定义法： ①形如 an＋1＝an＋c(c 为常数)， 直接利用定义判断其为等差数列． ② 形如 an＋1＝kan(k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数 列． (2)叠加法：形如 an＋1＝an＋f(n)，利用 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－ an－1)，求其通项公式． an＋1 a2 a3 an (3)叠乘法：形如 a ＝f(n)≠0，利用 an＝a1· · · …· ，求其通项公式． a a an－1 n 1 2
回访 2 数列的综合问题 2．(2017· 浙江高考)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 证明：当 n∈N*时， (1)0<xn＋1<xn； xnxn＋1 (2)2xn＋1－xn≤ 2 ； (3) n－1≤xn≤ n－2. 2 2 1 1
[ 解] (1)证明：用数学归纳法证明：xn>0. 当 n＝1 时，x1＝1>0. 假设 n＝k 时，xk>0， 那么 n＝k＋1 时， 若 xk＋1≤0，则 0<xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾， 故 xk＋1>0. 因此 xn>0(n∈N*)． 所以 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此 0<xn＋1<xn(n∈N*). 5分 3分
再利用待定系数法求解.
提炼 3 数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位 相减法是常用的两种方法.
提炼 4 数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者 是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值 问题． (3)考查与数列有关的不等式的证明问题，此类问题大多还要借助构造函数去 证明，或者是直接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法．
②因为 c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，
1 nn＋1 当 n≥5 时，cn＝ ， － 1 n 2 nn＋1
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9分
nn＋1 n＋1n＋2 n＋1n－2 而 2n － ＝ >0， 2n＋1 2n＋1 nn＋1 5×5＋1 得 2n ≤ 25 <1， 所以，当 n≥5 时，cn<0. 综上，对任意 n∈N*恒有 S4≥Sn，故 k＝4. 14 分 11 分
(4)待定系数法：形如 an＋1＝pan＋q(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先用 q 待定系数法把原递推公式转化为 an＋1－t＝p(an－t)，其中 t＝ ，再转化为 1－p 等比数列求解． (5)构造法：形如 an＋1＝pan＋qn(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原