常见的拆项公式有：
1 1 1 1. n(n 1) n n 1
1 1 1 1 2. ( ) n( n k ) k n n k
1 1 1 1 3. ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 4. [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
1 bn {b 例6、设 {an } 是公差d 不为零的等差数列 ， n } 满足 an an1 求： bn 的前n项和
解: b n
1 an an 1
Sn b1 b2 b3
1 1 1 an 1 an ) ( d an an 1 dan an 1
高中选修《数学2-1》（新人教A版）
数列求和
数
列
求
和
介绍求一个数列的前 n 项和的几 种方法：
1运用公式法
2 通 项 分 析 法（分组求和法）
3 错位相减法 4 裂项相消法
1.公式法： 即直接用求和公式，求数列的前n和S
①等差数列的前n项和公式：
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 1 2 3 n n(n 1) 2 ④
=
（
-
1 2n+1 1
）
2 1 3 3 5 1 1 n = （1 ）= 2 2n+1 2n+1
+……+
2n-1
-
2n+1
)
评：裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
4.拆项相消法（或裂项法）：若数列 {an } 的通项公
式拆分为某数列相邻两项之差的形式即： an
Sn n n 2n 4n 当x 1时，
1 1 x )( 2 4 x x
2n
1 2 n ) 2n x
( x 1)( x 1) 2n 2n 2 x ( x 1)
4n( x 1) 2n S n ( x 1)( x 2 n 2 1) 2n( x 1) 2n 2 x ( x 1)
bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d a1 a2 d a2 a3 d an 它的拆项 an1
1 1 1 1 1 ( d a1 a2 a2 a3 1 1 ) an an 1
方法你掌 握了吗？
1 1 1 n ( ) . d a1 an 1 a1an 1
2
1 2 3
3 3 3
n(n 1) n 2
3
了解
Hale Waihona Puke 例1：若实数a,b满足：4a2 9b2 4a 6b 2 0
求： a a 2b a3b2 a100b99 分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比 数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b， 再用等比数列前n项和公式求和 解：由已知有(4a2 4a 1) (9b2 6b 1) 0
例2 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解： ∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为 1，公比为1/a的等比数列，
1 1 1 n1 a ∴原式= 1 原因： 1 a
a 1 n 1 n a a
n 1
上述解法错误在于，当公比 1/a=1即a=1时，前n 项和公式 不再成立。
a=1 a 1
对策： 在求等比数列前n项和时，要特别 注意公比q是否为1。当q不确定时 要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求 解。
2.分组求和法： 若数列 {an } 的通项可转化为 an bn cn {bn } {cn } 可求出前n项和 sb s c 则 的形式，且数列
例3.求下列数列的前n项和 （1） 2 1 , 4 1 , 6 1 , , 2n 1
4
8
16
2n 1
n
1 2 2 1 2 2 ( x ) , ( x 2 ) , x x
1 2 , (x n ) x
1 解（1）：该数列的通项公式为 an 2n n 1 2 1 1 1 1 sn 2 4 6 (2n n1 ) 4 8 16 2
1 1 ( )] n n 1
1 2n 2(1 ) n 1 n 1
例4、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① 相减 xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 nxn
2
2 n n 1
1 2 1 n n 2 2
n
a 1 a 1 a
n n 1
2
例5、Sn =
1
1×3
+
1
3×5
+……+
1
(2n-1)×(2n+1)
[分析]：观察数列的前几项：
1 1×3 = 1 2 （ 1 1 1 3 ）
1 1 1 1 ( ) 3 5 2 3 5
na1 (q 1) Sn a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q (q 1)
n
n(a1 an ) n(n 1) Sn na1 d 2 2
1 2 3
2 2 2
⑤
1 了解 n n(n 1)(2n 1) 6 2
2 即：（2a-1） (3b 1)2 0 解得a= ，b .
1 2
a a b a b
2 3 2
a
1 3
100
b
99

a 1 (ab) 1 ab
100

1 2
3 1 (1 100 ). 5 6
1 100 1 ( ) 6 1 1 6
n项
这时等式的右边是一个等 比数列的前n项和与一个 式子的和，这样我们就可 以化简求值。
例4、求和Sn =1+2x+3x2+ …… +nxn-1 (x≠0,1)
解：∵ Sn =1
∴xSn =
+ 2x +3x2 + …… +nxn-1 x + 2x2 + … + (n-1)xn-1+nxn
∴ ① -②，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ … + xn-1 - nxn 1-xn - nxn = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1-x)2
3.错位相减法：设数列 {a } 是公差为d的等差数列
（d不等于零），数列 {bn } 是公比为q的等比数列(q不 等于1），数列 {cn } 满足： cn anbn 则 {cn } 的前n项 和为：
n
Sn c1 c2 c3
1 1 1 (2n-1)×(2n+1) = 2 （ 2n-1 - 2n+1 ） 1
裂项相 消法
这时我们就能把数列的每一项裂成 两项再求和，这种方法叫什么呢？
例5、Sn =
1
1×3
+
1
3×5 1
+……+ 1 2
1
(2n-1)×(2n+1) 1 2n-1 1
解：由通项an=
∴Sn= 1 （
(2n-1)×(2n+1) 1 1 + 1 1
1 1 5. ( a b) a b a b
1 练习：求an 的前n项和 1 2 3 n 2 1 解：an 1 2 3 n n(n 1)
1 1 2( ) n n 1
1 1 1 S n 2[(1 ) ( ) 2 2 3
练习： （）求 1 S n a 1 a 2 2
an n
解： 1 Sn a 1 a 2
2
a a2
a n 1 2
a n
n
n
当a=0时，Sn n n 1 当a=1时，Sn n 当a 0,1时，Sn
(2 4 6 1 1 2 n) ( 4 8
1 4 1 1 n 2 1 1 2
1 n 1 ) 2
n(2 2n) 2
1 1 n( n 1) n 1 2 2
(2)
1 1 4 Sn ( x 2 2) ( x 4 2) x x
2
1 2 1 2n an ( x n ) x 2 n 2 x x
n
(x
2n
1 2 n 2) x
(x x
2 4
1 1 (1 2n ) 2 2n 2 当x 1时，Sn x (1 x ) x x 2n 2 1 1 x 1 2 x 2n 2n2
祝愿同学们学业有成， 前途似锦！
1 [(3n 2) n ] 2
(1 a a2 an1 )
(3).Sn x 2x 3x
2 3
nx
n
x 0
1 1 1 1 4Sn 1 2 2 3 3 4 nn 1