1q
a1 anq 1q
q1 q1
变形 公式
1) 当m + n = p + q 时 am +an=ap+aq
2) a n = a m + ( n －m )d
1) 当m + n = p + q 时 am an =ap aq
2) a n = a m q n －m
1、几种求数列前n项和的方法
（1）公式法：等差数列与等比数列 （2）倒序相加法 （3）错位相减法
倒序求和 错项相减 裂项相消
等差数列的求和方法
数列{ anbn}的求和，其中{an}是 等差数列，{bn}是等比数列。
数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。
分解转化法 把通项分解成几项，从而出现几个 等差数列或等比数列进行求和。
数列求和
高一数学备课组
知识回顾：
定义 通项
等差数列 a n + 1 －a n = d a n = a 1 + ( n －1 ) d
等比数列 an1 q an a n = a 1 q n －1 ( a 1 , q≠0 )
求和
Sn
a1
an 2
n
n(n 1) na1 2 d
Sn
na1 a1(1 qn )
1 (1
n(n 1) 2
a n na a)2 1
n
a
a 1 a 1
错位相减法：1) 特征：等差、等比相乘得到的新数列；
2) 乘公比相减； 3) 化简结果。
2.已知数列an
, an
1 n(n
1)
,
求Sn.
解:
an
1 n(n 1)
1 1 n n1
Sn
1 1 2
1 23
(n
1 1)n
1 n(n 1)
(1 1) (1 1) ( 1 1) (1 1 )
12 23
n1 n n n1
1 1 n 1
求数列
2 ， 2 ， 2 ，…… 前 n 项的和。 13 35 57
解：通项：an
(2n
2 1)(2n
1)
11 2n 1 2n 1
2n Sn 2n 1
本题归纳:裂项求和,若一个数列的每 一项都能拆成两项的差,在求和中,一般 除首末项或附近几项外,其余的项可以 前后抵消,则这个数列的前n项和较容 易求出,一般地
( 1－a ) S =1+ a + a 2 + a 3 + …… + a n －1 － na n
当 a = 1 时，S = 1 + 2 + 3 + …… + n n(n 1)
2
当a S
≠ 1 时，( 1－a )S = 1 a n na
(1 a)2 1
1
a
n
－na
n
1 a
n
S
a
其中, an
是等差数列,
bn 是等比数列.
例1、求 1 + a + a 2 + a 3 + …… + a n 的值 。 解：由题知 { a n －1 } 是公比为 a 的等比数列
设 S = 1 + a + a 2 + …… + a n
当 a = 1 时，S = n + 1 当 a ≠ 1 时， S 1 a n1
1 a
S
n1 1 an
1 a
a 1 a 1
归纳：公式法：1）判断 ____是__否__是__等__差__或__等__比_______ 2）运用 ___求__和__公__式__，__注__q__是__否__为__1__
3）化简结果。
例2、求数列1，2a，3a 2，…，na n －1，… 的前 n 项的和。 解：由题 a n = na n －1 —— 等差数列×等比数列 设 S = 1 + 2a + 3a 2 + 4a 3 + …… + ( n －1 )a n －2 + na n －1 －) a S = a + 2a 2 + 3a 3 + …… …………+ ( n －1 )a n －1 + na n
( 4 ) 拆项求和法
2、练习：
(1)
sn
11 3
2
1 9
3
1 27
(n
1 3n
)
sn
(1 n)n 2
3n 1 2 3n
(2)
sn
1 3
2 9
3 27
n ( 3n
)
sn
3n1 2n 3 4 3n
3.说明:(1)拆项求和法,形如
cn an bn
(2)错位相减法,形如
cn an bn
形如 :{ an
若公差为
1 an1
d,则
1 1(1 1 )
.
an an1 d an an1
练习
求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1)
分析：利用“分解转化求和”
总结：常见求和方法
适用范围及方法
直接求和 （公式法）
等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。