（第⑧题图） OA， OB交于点 C， D..
②在图乙中，点 G是 CD与 OP的交点，且 PG= PD，求△ POD与△ PDG的面积之比 .
（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM上移动，一直角边与边 OB交于点 D， OD=1，另一直 角边与直线 OA，直线 OB分别交于点 C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与△ OCD相似，在 图丙中作出图形，试求 OP的长 .
（1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积
: 之比等于 ________
（2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积
: 之比等于 ________
⑤（ 2006 年武汉市 T24 ． 10 分） 已知：将一副三角板 (Rt△ ABC 和 Rt△DEF )如图①摆放， 点 E、 A、 D、 B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。将 Rt△ DEF 绕点 D 顺时针方向旋 转角 α(0°＜ α＜ 90° )，在旋转过程中，直线 DE 、AC 相交于点 M ，直线 DF 、 BC 相 交于点 N，分别过点 M 、 N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、 H 。
）
9.5% iii
A 、 8.5%
D、 10%
B 、 9%
C、
模型 6 垂径定理 ①如图：一个残破的圆钢轮，为了再铸做一个同样大小的圆轮，请用圆规、 心（不用写作法，保留作图痕迹） 。
直尺作出它的圆
② ③ 在直径为 10m的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示，如果油面宽 AB=8m，那么油的最 大深度是 ______m. 模型 7 配方法 用配方法解关于 x2+px+q=0 时，此方程可变为（ A）
⑧如图，
中，
，
，
，过点 作
于，
过作
于 ，过 作
能等于（ 为正整数）
于 ，这样继续作下去，……，线段
(A)
(B)
(C)
(D)
⑨已知∠ AOB=90°， OM是∠ AOB的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM上移动 , 两直角边分别与边 ①在图甲中，证明： PC=PD；
CQ=PC=
由（ 1）证得， PB=PQ，
由
…………… .3 分
12. 如图，操作：将一把三角尺放在边长为
1 的正方形 ABCD上，并使
它的直角顶点 P 在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一
边与边 DC或射线 DC相交于点 Q。
当点 Q在边 CD上时， 线段 PQ与线段 PB之间有怎样的大小关系？试证
=
∴ S=
……………… 8 分
模型 4 知二求四
在上图中隐含有以下重要性质： ⑴两对相等的锐角；∠ A= ∠BCD , ∠ B= ∠ ACD ⑵三对相似三角形 : ⊿ ACD∽⊿ CBD∽⊿ ABC, AC2=AD· AB BC2=BD· AB CD2=BD· AD ⑶边之比的推广
⑷面积 :AC· BC=AB· CD
③（ 2006 邵阳 T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△
（1： 3
）
④（ 2005 年浙江绍兴 T18 ．）（以下两小题选做一题，第（
满分为 3 分。若两小题都做，以第（ 1）小题计分） 选做第 ________小题，答案为 ________
AOB 与△ DOC 的面积之比等于 1）小题满分 5 分，第（ 2）小题
A．
B．
C．
D．
模型 8 三个非负量
初中阶段学过三个非负量：平方数
，绝对值
以下性质： ①非负性； ②n 个非负量之和仍为非负量；③若
，算术平方根
。它们具有
n 个非负量之和为 0，则每个非
负量必须同时为 0；④当 a=0 时，
、、
都有最小值， 相反
都
有最大值。
① 如图所示，化简
（ ）A、 B 、
C 、－
分
③有可能成为等腰三角形，求出 x 值 -------11 分
13．（ 12 分）用两个全等的等边三角形△ ABC和△ ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60°角的三 角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB， AC 重合 . 将 三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 . （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC， CD相交于点 E， F 时，（如图 13— 1），通过观 察或测量 BE， CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC， CD的延长线相交于点 E， F 时（如图 13— 2），
明你观察得到的结论；
② 当点 Q在边 CD运动上时， 设四边形 PBCQ的面积为 S 时，试用含有 x
的代数式表示 S：
③ 当点 P 在线段 AC上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果
可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置，并求出相应
的 x 的值；如果不可能，试说明理由。
你在（ 1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由 .
（1） BE=CF. …… 2 分
证明：在△ ABE和△ ACF中， ∵∠ BAE+∠ EAC=∠CAF+∠ EAC=60°， ∴∠ BAE=∠ CAF. ∵AB=AC，∠ B=∠ ACF=60°，∴△ ABE≌△ ACF（ASA） . …… 4 分∴ BE=CF. …… 6 分
4分
由△ BPE 与△ CFP相似，得
，又∵ BP=CP ∴
,
即
，又∵∠ B=∠ EPF=30 ∴△ BPE～△ PFE …………… 6 分
③如图，∵△ BPE～△ PFE ，∴∠ PEB=∠ PEF 作 PH⊥ BE于点 H,PG⊥ EG于点 G,则 PH=PG ……… 7 分
在 Rt△ BPH中 ,
（2）BE=CF仍然成立 . 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ ABE和△ ACF全等， BE
和 CF是它们的对应边 . 所以 BE=CF仍然成立 . ……………………………… 10 分
27．（ 8 分）等腰△ ABC ，AB=AC= ８，∠ BAC=12 0°，P 为 BC的中点，小慧拿着含 角的透明三角板，使 30°角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转．
初中数学几个 数学模 型
模型１、 l:r=360 0:n 0
①圆锥母线长 5cm，底面半径长 3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216
。
②劳技课上， 王芳制作了一个圆锥形纸帽， 其尺寸如图． 则将这个纸帽展开成扇形时的圆心
角等于（ C ）
A ． 45°
Ｂ． 60°
C． 90°
Ｄ． 120°
③要制作一个圆锥形的模型， 要求底面半径为２ cm，母线长为４ cm，在一个边长为 8cm的正
①过点 P 作
分
PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE
∴BE=PF ------2
分
∴
------3 分
∴
------4
分
设 PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x
∴ PB=PQ --------5
分
-----------8
（1）当 α＝ 30°时 (如图② )，求证： AG=DH； （2）当 α＝ 60°时 (如图③ )， (1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当 0°＜ α＜ 90°时， (1) 中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
EA
F 45°
D
图①
C
60° B
E M
AG
第 24 题图
30 °
（1）如图 1，当三角板的两边分别交 AB 、 AC 于点 E、 F 时．问△ BPE 与△ CFP是否相似；
（2）操作： 将三角板绕点 P 旋转到图 2 情形时， 三角板的两边分别交 BA 的延长线、 边 AC
于点 E、 F．
① 探究１：△ BPE 与△ CFP还相似吗？（只需写出结论）
② 探究２：连结 EF，△ BPE 与△ PFE是否相似？请说明理由； ③ 设 EF=m，△ EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S．
A
A
A
M
M
M
P
P
C
C
O
DB
O
DB
O
B
图甲
图乙
图丙
⑩如图，客轮沿折线 A－ B－ C 从 A 出发经 B 再到 C 匀速航行，货轮从 AC的中点 D 出发沿某
一方向匀速直线航行， 将一批物品送达客轮。 两船同时起航， 并同时到达折线 A－ B－ C的某
点 E 处，已知 AB＝ BC＝ 200 海里，∠ ABC＝ 90°，客轮速度是货轮速度的 2 倍。
（1）如图，由题意得∠ FPC+∠ BPE=150, ∠ BEP+∠ BPE=150
∴∠ BEP=∠FPC 又∵∠ B=∠C=30∴△ BPE～△ CFP………………… 2 分
（2）①△ BP E 与△ CFP还相似
……………………………………
3分
②△ BP E 与△ PFE相似，
……………………………………
C、
D、 模型 2、 角平分线 +平行 =等腰三角形
如图， ABC中 BD、CD平分∠ ABC、∠ ACB，过 D 作直线平行于 BC，
交 AB、 AC于 E、 F，当∠ A 的位置及大小变化时，线段
大小关系（ B ） .
（ A） EF>BE+CF
（ B）EF=BE+CF
（ C） EF<BE+CF
（D）不能确定
⑸勾股定理
⑹AB 是Δ ABC外接圆的直径
①