② sin A a ， sin B b ，sin C c
2R
2R
2R
③
sin
A
a
b sin B
c
sin
C
=
2R
④ a : b : c sin A : sin B : sin C
(二)余弦定理： b2 = a2 c2 2ac cos B （求边） cos B = a 2 c2 b2 （求角）
12 1 =4，另一条直角边为8 2
3
S△ABC
=1 48
2
2 =16
2
变式 3、在△ABC 中，若 sin A sin B sinCcos A cosB.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角 C 的对边 c 1 ，求该三角形内切圆半径的
取值范围。
变式 3、解：（1）由 sin A sin B sinCcos A cosB
2ac
适用情况：（1）已知三边，求角；
（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。
（三）三角形的面积：
①S
1 2 a ha
；
②S 1 bc sin A ；
2
③ S 2R 2 sin Asin B sin C ；
④ S abc ；
4R
⑤ S p( p a)( p b)( p c) ；
⑥ S pr （其中 p a b c ，r 为内切圆半径）
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⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量
或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学
式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意
列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
1.叠加累加法：
，
则
，
，…，
2.叠乘累乘法： ，
则
，
，…，
知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要
内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利 率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
2
（四）三角形内切圆的半径：
r
a
2S b
c
，特别地，
r直
a
b 2
c斜
（五）△ABC 射影定理： b a cosC c cos A ，…
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（六）三角边角关系：
（1）在 ABC 中， A B C ； sin( A B) sin C ；
cos(a b) cos c
c
变式 1、解（１）∵ b2 ac, a 2 c 2 ac bc ∴ b2 c 2 a 2 bc
在△ABC 中，由余弦定理得
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cos A b2 c2 a2 bc 1
2bc
2bc 2
∴∠ A ＝ 600
（２）在△ABC 中，由正弦定理得 sin B b sin 600
12 22 21 2 cos 5 4 cos
于是，四边形 OACB 的面积为
S=S△AOB+
S△ABC
1 2
OAOB sin
3 AB2 4
1 21sin 3 (5 4cos )
2
4
sin 3 cos 5 3 2sin( ) 5 3
4
34
因为 0 ，所以当 ， 5 ，
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举一反三：
【变式 1】已知数列 ， ，
，求 .
【变式 2】数列 中 ，
，求通项公式 .
类型二：叠乘法求数列通项公式
2．设 是首项为 1 的正项数列，且
，
求它的通项公式 .
总结升华：
1. 在数列 中，
，若 为常数且 ，则数列
是等比数列；若 不是一个常数，而是关于 的式子，则数列
，求
【变式 2】已知数列 满足
,而且
列的通项公式 .
类型五： 和 的递推关系的应用
5．已知数列 中， 是它的前 n 项和，并且
，求这个数 ,
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. (1)设
,求证：数列 是等比数列；
(2)设
，求证：数列 是等差数列；
(3)求数列 的通项公式及前 n 项和.
总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意
a
∵ b 2 ac, A 600
∴ b sin B b2 sin 600 sin 600 3
c
ca
2
变式 2、在 ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，
且 sin A 5 ,sin B 10
5
10
（I）求 A B 的值；
（II）若 a b 2 1 ，求 a、b、c 的值。
3
3
3
∵ 0 A 2
3
3 sin A 3 cos A 3( 3 sin A 1 cos A)
2
2
2
2
3 sin( A ) 6
∴ A 5
6
66
∴ 1 sin( A ) 1
2
6
∴ 3 3 sin(A ) 3
2
6
即 3 sin A sin B 3 .
2
（三）考查三角形形状的判断
32
6
即 AOB 5 时，四边形 OACB 面积最大．
6
变式 2、已知向量 m (a c,b) ， n (a c,b a) ，且 m n 0，其中 A, B,C
是△ABC 的内角， a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边.
(1) 求角C 的大小；
（2）求sin A sin B 的取值范围.
变式 2、解：（1）由 m n 0 得 (a c)(a c) b(b a) 0 a2 b2 c2 ab
由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 ab 1
2ab
2ab 2
∵0C
∴C
3
(2)∵ C
3
∴ A B 2
3
∴ sin A sin B = sin A sin( 2 A) sin A sin 2 cos A cos 2 sin A
（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决
问题的综合能力.
经典例题：
类型一：叠加法求数列通项公式
1．在数列 中，
，
，求 .
总结升华：
1. 在数列 中，
，若 为常数，则数列 是等
差数列；若 不是一个常数，而是关于 的式子，则数列 不是
等差数列.
2.当数列的递推公式是形如
的解析式，而
的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得 .
利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等
差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知
关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问
B=π-(A+C)
sinB=sin(A+C),从而（1）式变为 sin(A+C)= sinAcosC，
cosAsinC=0,又 A，C (0, ) cosA=0，A= ， 2
△ABC 是直角三角形。
（2）△ABC 的最大边长为 12，由（1）知斜边 a =12，又 △
ABC 最 小 角 的 正 弦 值 为 1 ， Rt △ ABC 的 最 短 直 角 边 为 3
高一下数学知识点总结及练习
一、解三角形 （一）正弦定理： a b c 2R （其中 R 表示三角形的外接
sin A sin B sin C
圆半径）
适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；
（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。
变形：① a 2R sin A ， b 2Rsin B ， c 2Rsin C
∵ 0 AB
∴ AB
4
（II）由（I）知 C 3 ，∴ sin C 2
4
2
由ab c得
sin A sin B sin C
5a
10b
2c ，
即 a 2b, c 5b
又∵ a b 2 1
∴ 2b b 2 1 ∴ b 1
∴ a 2,c 5
（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用
不是等比数列.
2．若数列有形如
的解析关系，而
的积
是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得 .
举一反三：
【变式 1】在数列 中， ，
，求 .
【变式 2】已知数列 中， ，
公式 . 类型三：倒数法求通项公式
3．数列 中， , 总结升华：
，求通项 ，求 .
1．两边同时除以
可使等式左边出现关于 和 的相同代
数式的差，右边为一常数，这样把数列 的每一项都取倒数，这又
构成一个新的数列 ，而 的通项，再求 的通项.
2．若数列有形如
恰是等差数列.其通项易求，先求 的关系，则可在等式两边同乘
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以 ，先求出 ，再求得 .
举一反三：【变式 1】数列 中， ， 【变式 2】数列 中， ,
类型四：待定系数法求通项公式
，求 . ，求 .
4．已知数列 中， ，
变式 2、解（I）∵ A、B 为锐角， sin A 5 ,sin B 10
5
10
∴ cos A 1 sin2 A 2 5 , cos B 1 sin2 B 3 10