轴对称：最短路径问题【知识导图】1.两点之间，线段最短。

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。

讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。

【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'一、导入考点1 二、知识讲解考点2 三 、例题精析例题1如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。

【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。

如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.2例题3【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点 B、点C，则点B、点C即为所求【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴△ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。

如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

【答案】连接AB与l交于点C，点C即为所求的点。

【解析】两点之间线段最短ABC△l例题4如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。

【答案】作点A关于CD的对称点A′，连接A'B，交CD于点M，则M点即为使饮马总距离最短的点。

【解析】在直线CD上任取不同于M点的M'点，连接A'M'、AM'.∵点A和A'关于直线CD对称∴AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'B∴选在M点处饮马使总距离最短。

如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。

【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP为最短例题5例题6如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。

【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于BC所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。

例题7某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点D,2.作点C关于直线 OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，则CM+MN+CN最短【解析】在OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接CM、CM'、DM'、CN、CN'、EN'、M'N'∵点C和D关于射线OA对称，C和E关于射线OB对称，∴CM=DM，CM'=DM'、CN=EN、CN'=EN'∴CM+MN+CN= DM+MN+EN=DE，CM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'∵DM'+ EN'+M'N'> DE∴CM'+CN'+ M'N'> CM+MN+CN∴CM+MN+CN最短。

如图，两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+QN最短8例题9【答案】分别作点P点Q关于直线OA、OB的对称点P'、Q',连接P'Q'分别交射线OA、OB 于点M、N，则点M、N即为所求的点。

【解析】在射线OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接PM、PM'、P'M'、QN、QN'、Q'N'，∵点P和P'关于射线OA对称，Q和Q'关于射线OB对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，QN=Q'N，QN'=Q'N'∴PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N=P'Q'PM'+M'N'+QN'=P'M'+M'N'+Q'N'>P'Q'∴PM'+M'N'+QN'>PM+MN+QN∴点M、点N即为使PM+MN+QN 最短的点。

1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是()A．PA B．PB C．PC D．PD2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．四、课堂运用基础3．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．答案与解析1.B2解：图略．理由：垂线段最短．3解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．1.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．2．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？答案与解析1.解：如图．作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．2解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．提升1如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．2.在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求m n。