课题学习最短路径问题教学设计
内容：
利用轴对称研究某些最短路径问题。

内容解析：
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将现实问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形的两边之和大于第三边”）问题。

【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

【学习重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

【学习难点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

【课前准备】三角板、直尺、圆规、铅笔、橡皮擦等
教学问题诊断分析：
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异测的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任意取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法大部分学生想不到。

在教学过程中，我让学生首先思考“直线l异测的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建桥梁。

教学过程设计
引言：
前面我们研究过一些关于“两点的所有线段中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题，这节课我们将学习著名的“将军饮马问题”，从中体会如何用所学知识选择最短路径。

首先请同学们独立思考，完成导学案上的第一个板块——自主学习。

“自主学习”板块，让学生先独立思考，独立完成。

然后请学生来公布答案，达到复习旧知的目的，为本节课的学习做好铺垫。

一、自主学习
1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
2、三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；两边之差________第三边。

3、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。

4、如图，点A、B关于直线l对称，则PA=_______
二、合作探究
问题1 如图，点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离之和最小？
.A
l
.B
问题2将军饮马
有一个将军，凯旋归来。

他的马非常任性，非要从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮水，然后到军营B 地．将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？
小组成员讨论完成以下问题：
（1）这是一个实际问题，你能将它抽象为数学问题吗？
答：将A、B两地抽象为两个_____，将河l抽象为一条______,题目要求在直线l上找到一个
点C，使线段_____和线段_____的和最小。

（2）问题2和问题1有什么异同？
答：相同点：都是要在一条直线上找______点，使它到已知两点的距离之和最________。

不同点：问题1的两点在直线的______侧；
问题2的两点在直线的______侧。

（3）你能利用轴对称的知识将问题2转化为问题1吗？试一试，怎么做？
（4）你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
“合作探究”板块，让学生进行小组活动，通过与小组成员的讨论完成以上两个小题。

然后请两个小组的同学来分享他们小组讨论的成果。

如有不对的地方请其他小组来进行修正。

问题一比较容易，大部分学生能够解决这个问题。

问题二的解决有一定的难度，所以我通过设计问题串来引导学生一步一步去思考问题、分析问题，从而达到引导学生将问题二转化为问题一的目的。

通过小组成员的合作探究，有一部分同学能够解决问题二。

学生讨论分享成果后，我再展示一个视频总结学生们的成果，让学生充分理解问题二的解决思路。

三、例题精讲
例1、如图：在正方形ABCD中，点M是AB的中点，在AC上找一点N，使 MN+NB最小。

例2、如图：点A是∠MON内任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，组成三角形，使△ABC周长最小.
“精要讲解”板块，我通过视频讲解例题1，让解决问题的过程更加形象生动，从而进一步激发学生学习的兴趣。

例题2难度进一步加深，为了让学生更好的掌握这道题的解题方法，我再黑板上展示作图的步骤和方法，
然后通过PPT再次呈现作图的过程，让学生容易突破难点。

四、学以致用
1、如图，直线l为一条水渠，水渠两侧有两个鱼塘A、B，若想挖水渠引水到两个鱼塘，下列哪种作图方式才能使挖的水渠长度最短？（）
A、①
B、②
2、如图，直线l为一条水渠，水渠同侧有两个鱼塘A、B，若想挖水渠引水到两个鱼塘，下列哪种作图方式才能使挖的水渠长度最短？（）
A、①
B、②
3、如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
4、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

“学习之用”板块主要是检测学生学习掌握知识的情况。

这个板块还是发挥学生的自主性，让学生独立完成。

完成后请学生进行讲解。

这样对于已经掌握知识的学生，通过回答问题，展示了自己的阶梯思路，也锻炼了学生的表达能力。

对于后进的学生，他可以通过聆听得到解决问题的方法。

小结：
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容及方法。

引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径中的作用，感悟转化思想的重要价值。