勾股定理之最短路程、实际应用（讲义）一、知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路
（1）展开；
（2）找点；
（3）连线，利用勾股定理进行计算．
二、精讲精练
1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm，底
面半径等于3cm．在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（π取整数3）
2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A
上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）．
3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B
点，那么它所爬行的最短路线的长是______．
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行
的最短距离是多少？
5.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了
营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？
6.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和
B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．
7.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高
3.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？
8.一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横
截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？3.6
米
9.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭(jiā)赴岸”：
今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆
孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15
C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
第10题图第11题图
11.如图，将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水
杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）
A．h≤17 B．h≥8
C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
12.小明家住在18层的高楼上，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯的长、宽、
高分别是1.6米、1.2米、2.1米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是多少米？
1.2米1.6米
2.1米
13.一架梯子长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7
米．如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了0.4米吗？为什么？
三、回顾与思考
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【参考答案】
1．15cm 2．13cm 3．10 4．25cm
5．2.9m 6．25dm 7．卡车能通过隧道
8．卡车能通过隧道9．深度：12尺；长度：13尺
10．A 11．D 12．2.9米
13．不是；理由略．
勾股定理之最短路程、实际应用（随堂测试）
1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上有一个蜘蛛Q，
QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，
P取整数3）
1
A
第1题图第2题图
2.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱
形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h
cm，则h的取值范围是_________．3.已知一辆装满货物的卡车高为3.0米，宽为1.6米，该卡车能否通过如图所
示的工厂厂门（上方为半圆），请说明理由．
【参考答案】
1．13cm 2．11≤h≤12 3．不能通过，理由略
勾股定理之最短路程、实际应用（作业）
14.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳
子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A．13m B．12m C．4m D．10m
15.如图，一根长为2.5米的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底
端B离开墙根为0.7米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8米至D处，则梯子的顶端将沿墙向下移动（）
A．0.8米B．0.7米C．0.4米D．0.3米
D
C
B
A
第2题图第3题图
16.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A
和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，爬行的最短路线长为（）
A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm
17.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长为
10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．则小明给爸妈的正确答案
是．
18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步路为1米），却踩伤了花草．
第5题图第6题图
19.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
_________cm．
20.如图，为了庆祝“五一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已
知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度至少为___________．
第7题图第8题图
21.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4cm，
最短2cm，那么这只玻璃杯的内径是____cm．
22.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着
两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的距离为__________．
23.如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，高
BC=9cm，点P是母线BC上一点，且PC
2
3
BC．一只蚂蚁
从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点P的最短距离是
多少？
24.如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线
AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【参考答案】
1．B 2．C 3．C 4．14米
5．8 6．13 7．5m 8．6
9．20肘尺10．10cm 11．是；理由略
A
B C。