中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）
二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！
例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的
一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．
解题思路：
1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB
2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM
3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式
4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标
例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点
P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形
1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形
2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式
3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标
例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
解题思路
1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论
2.P在原点右侧比较简单
3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标
4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标
例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标
2.求出直线CF的解析式
3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）
例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；
解题思路：
1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方
2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标
3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，
4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点
5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标
例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物
线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
解题思路：1.过点B做OA平行线
2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC
3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标
例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q
两点．求证：∠PDQ＝90°；
解题思路
思路1.构造一线三垂直
思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1
思路3.利用勾股定理逆定理证明
例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛
物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；
解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论
2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便
例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．
解题思路：
1.分D在BC上方和下方讨论
2.找到特殊点发现tan∠OBC=
3.利用角平分线的性质去求F坐标
4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标
例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解
例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．
解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形
2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）
例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；
解题思路：构造一线三垂直
课后练习
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；
2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。

D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．连接AD，AC，若∠DAC＝60°，求点D的坐标．
3.抛物线y＝x2﹣x﹣4交x轴于A（﹣2，0）、B两点，交y轴于C；直线AD交抛物线于
第一象限内点D，且D的横坐标为5．抛物线上是否存在点P，使∠PCO+∠DAO＝∠CBO，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.直线BE：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、E，抛物线y＝x2+2x﹣3经过点A（﹣3，0）、点B，与y轴交于点C．点P在y轴上，连接BP，若∠OCB+∠OPB＝45°，求点P 的坐标；
5.抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），交y轴于C，直线y ＝﹣x﹣2经过A，C两点．F为抛物线上一点，且tan∠FCA＝，求F点的横坐标．
解题思路：特殊位置是突破口
6.如图．抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A，B两点．其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．连接AC．点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；
解题思路：找出2∠ACO
7.抛物线y＝﹣x2+2x+3，P为抛物线上一点，连接AC，PC，若∠PCO＝3∠ACO，求点P 的横坐标；
8.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点
C．
D为x轴下方抛物线上一点，连DA，DB，若∠BDA+2∠BAD＝90°，求点D的纵坐标．
9.如图，二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC，且抛物线的对称轴为直线x＝．点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，求出点Q坐标．
10.抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连
接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明
理由．
11.如图，已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线
C1上存在点D，使tan∠CBD＝，求点D的坐标；
12.已知抛物线y＝x2﹣m与直线y＝﹣x+4相交于A、B两点．抛物线的顶点为C，∠ACB
＝45°，求m的值；
13.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．P
为抛物线的对称轴上的动点，且在x轴的上方，直线AP与抛物线交于另一点D．连接AC、DC．若∠ACD＝45°，求点D的坐标；。