抛物线中的存在性问题
复习
1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .
2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .
例1：如图，抛物线2
23=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；
变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。

变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD
为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
归纳方法：
例2：如图，抛物线2
23=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．
A B C O x
y
D
变式3：点P 为抛物线322
--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322
--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.
归纳方法：
例3：如图，抛物线2
23=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．
A B C
O x
y M N
A B
C
O x
y
变式5：点D 为抛物线322
--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.
变式6：点D 为抛物线322
--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.
归纳方法： 三、巩固训练
1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .
（第1题） （第2题）
A B
C O x
y D
A B
C
O x
y
D
2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．
3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2
=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一
个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2
=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．
4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （1
2
-
，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点
的坐标；若不存在，说明理由．
5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．
（1）求b ，c 的值；
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．。