点集拓扑学期末考试一、单项选择题〔每题1分〕1、{,,,,}X a b c d e =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T ④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、{,,,}X a b c d =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T `③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②5、{,,,}X a b c d =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③7、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此}{b =〔 〕①φ②X ③{}b ④{,,}b c d 答案:④8、 {,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{,,}b c d =〔 〕①φ②X ③{}b ④{,,}b c d 答案:④9、 {,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}a =〔 〕①φ②X ③{}a ④{}b 答案:②10、{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}b =〔 〕①φ②X ③{}a ④{}b 答案:④11、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}a =〔 〕①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d 答案:②12、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}c =〔 〕①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集个数〔 〕① 1 ②2 ③ 3④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集的个数为〔 〕① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集的个数为〔 〕① 0 ②1 ③ 2④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,如此X 的既开又闭的子集的个数为〔 〕 ① 0 ②1 ③ 2④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,如此X 的既开又闭的子集的个数为〔 〕 ① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数〔 〕 ① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是〔 〕①φ②Q ③R -Q ④R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是〔 〕①φ②Q ③R -Q ④R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是〔 〕①φ②Z ③R -Z ④R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是〔 〕①φ②Z ③R -Z ④R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是〔 〕①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是〔 〕①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是〔 〕①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中错误的答案是〔 〕 ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中正确的答案是〔 〕 ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中正确的答案是〔 〕 ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中正确的答案是〔〕①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X = 答案:①30、X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中不正确的答案是〔〕① 假如A φ=,如此()d A φ=② 假如0{}A x =,如此()d A X A =-③ 假如A={12,x x },如此()d A X =④ 假如A X ≠, 如此()d A X ≠答案:④31、X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中正确的答案是〔〕① 假如A φ=,如此()d A φ=② 假如0{}A x =,如此()d A X =③ 假如A={12,x x },如此()d A X A =-④ 假如12{,}A x x =,如此()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,如此由B 产生的X 上的拓扑是〔〕 ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,如此〔 〕是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,如此如下X 的拓扑中〔 〕以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},如此A =〔 〕 ①φ②R ③A ∪{0}④A 答案:③39、在实数空间R 中,如下集合是闭集的是〔 〕① 整数集②[)b a ,③ 有理数集④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,如下集合是开集的是〔〕① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,如此点1的邻域个数是〔 〕①1 ②2 ③3 ④4 答案:④42、{,}X a b =,如此X 上的所有可能的拓扑有〔 〕①1个 ②2个③3个④4个 答案:④43、X ={a ,b ,c },如此X 上的含有4个元素的拓扑有〔 〕个① 3② 5③ 7④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,如此如下表示正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是〔 〕① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,如此B 是〔 〕① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,如此R 的子空间Z 的拓扑为〔 〕①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,如此1P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,如此2P 是〔 〕 ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,如此3P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,如此4P 是〔 〕 ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,如此5P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,如此6P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,如此有〔 〕 ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,假如Y Z Y ⊂⊂,如此Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点答案:④71、如下表示中正确的个数为〔 〕〔Ⅰ〕单位圆周1S 是连通的; 〔Ⅱ〕{0}R -是连通的〔Ⅲ〕2{(0,0)}R -是连通的 〔Ⅳ〕2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 4答案:②二、填空题〔每题1分〕1、设{,}X a b =,如此X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,如此X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,如此()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,如此A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,如此()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,如此A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ 14、设{,,}X a b c =,如此X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,如此X 的离散拓扑为答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,假如它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,如此称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,如此称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,假如X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,如此称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,假如X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,如此称映射f 是一个 答案:闭映射22、假如拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,如此X 是一个 ;答案:不连通空间23、假如拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,如此X 是一个 ;答案:不连通空间24、假如拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,如此X 是一个答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,如此Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,如此称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,如此称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、假如任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,如此积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,如此性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,如此称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断〔每题4分,判断1分,理由3分〕1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,如此12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为〔1〕12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; 〔2〕对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,如此有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;〔3〕对任意的21T T T ⋂⊂',如此21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射〔 〕答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,如此()d A φ= 〔 〕答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X 〔X 多于一点〕的一个单点集,如此()d A φ= 〔 〕答案:× 理由:设{}A y =,如此对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,如此()d A X = 〔 〕答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,如此X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=〔 〕答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、假如拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,如此X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为假如设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,如此,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题〔每题4分〕1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,如此有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:假如A 是一个闭集,如此A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,如此x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:假如A 的补集A '是一个开集,如此A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,如此x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题〔每题8分〕1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y ()f X 是Y 的一个连通子集.证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,如此存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃…………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X ()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,如此或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂=………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,如此Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 假如Φ=⋂Y B ,如此A Y ⊂;假如Φ=⋂Y A ,如此B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,如此或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂=………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,如此Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 假如Φ=⋂Y B ,如此A Y ⊂;假如Φ=⋂Y A ,如此B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,如此Z 也是X 的一个连通子集.证明:假如Z 是X 的一个不连通子集,如此在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,如此A φ=Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间XY γγφ∈Γ≠,如此Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集. 证明:假如Y γγ∈Γ是X X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂与B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,如此A B ⊂.证明:假如B X =,如此结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠与A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:假如()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的,可能有错误或者不足,希望对大家的考试有帮助。