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拓扑期末试题及答案

拓扑期末试题及答案
一、选择题
1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念?
A. 连通性
B. 邻域
C. 紧致性
D. 可分性
答案:B. 邻域
2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素?
A. 集合
B. 拓扑
C. 运算
D. 距离
答案:A. 集合,B. 拓扑
3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集?
A. Heine-Borel定理
B. Bolzano-Weierstrass定理
C. 单调有界定理
D. Cantor定理
答案:A. Heine-Borel定理
4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域,则称该空间满足:
A. 可分性
B. 连通性
C. 紧致性
D. 完备性
答案:A. 可分性
5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑?
A. 离散拓扑
B. 序拓扑
C. 紧致拓扑
D. Hausdorff拓扑
答案:C. 紧致拓扑
二、填空题
1. 在连通空间中,_________只有一个子集,即空集和整个集合本身。

答案:极大连通子集
2. 设X是一个度量空间,如果序列{an}在X中收敛到点x,则它的任意一个子列也在X中收敛到点x,这个定理称为_________定理。

答案:Bolzano-Weierstrass定理
3. 设X、Y是两个度量空间,f:X→Y是一个映射,若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a),则称f是一个
_________映射。

答案:连续映射
4. 在一个度量空间中,若集合E能被包含在一列开集内,即
E⊆∪(n=1)∞O(n),则E称为_________集。

答案:可分集
5. 在度量空间中,_________是指个别的点被聚集成簇,而某个区域内不能含有过多的点。

答案:Hausdorff性
三、计算题
1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集,其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T,计算X中元素x=1的极限点。

解答:首先,极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。

对于
x=1来说,我们可以构造一个序列{a_n},其中a_n = 1+1/n。

显然,{a_n}收敛于x=1。

因此,1是X中x=1的一个极限点。

2. 已知度量空间X为实数集R上的子集,其度量为d(x,y) = |x-y|,计算点x=2和点y=5之间的距离。

解答:由度量空间的定义可知,两个点之间的距离即为它们之差的绝对值,即d(x,y) = |2-5| = 3。

3. 判断拓扑空间X = {1,2,3}上的拓扑T =
{{∅},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}是否是一致拓扑。

解答:一致拓扑是指拓扑空间中任意两个元素有交集时,它们的交集也必须属于该拓扑。

对于给定的拓扑空间X和拓扑T,我们可以发现{1}和{2}的交集{∅}不属于T,因此该拓扑不是一致拓扑。

四、证明题
证明:如果度量空间X中有一列闭集{F_n},满足
F_1⊇F_2⊇F_3⊇…⊇F_n⊇…,并且对于所有n,F_n ≠ ∅,那么交集
∩(n=1)∞F_n也是一个闭集。

证明过程略。

此处省略证明过程。

综上所述,本文介绍了拓扑期末试题及答案,涵盖了选择题、填空题、计算题和证明题四个方面。

希望通过本文的详细介绍和解答,能够帮助您更好地理解和掌握拓扑学的相关知识。

感谢阅读!。

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