二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a （a ≥0）是一个非负数。

③. （a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）2.二次根式的乘： ①.一般的，有a·b＝a b．（a ≥0，b ≥0）②. 反过来，有ab ＝a ×b( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=a b（a ≥0，b>0）， ②. 反过来，a b=a b（a ≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。

解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。

例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。

变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。

②.若3x-+3x-有意义，则2x-=_______。

③.使式子2(5)x--有意义的未知数x有（）个。

例3. ①.已知y=2x-+2x-+5，求xy 的值．(答案:25)②.若1a++1b-=0，求a2004+b2004的值．(答案: 2) ③.已知1x y-++3x-=0，求x y的值．（答案:81）例4.计算1．（32）2 2．（35）23．（56）2 4．（72）2分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．解：（32）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，（56）2=56，（72）2=22(7)724=．例5. 计算1．（1x+）2（x≥0） 2．（2a）23．（221a a++）2 4．（24129x x-+）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）2≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（1x+）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴221++=a2+2a+1a a（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（2-+）2=4x2-12x+94129x x变式题：计算）21.（-3232.(2332)(2332)+-例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（1）9（2）2-(3)(4)-（3）25（4）2分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a=a（a≥0）•去化简。

解：（1）9=23=3 （2）2-=24=4(4)（3）25=25=5 （4）2-=23=3(3)例8.填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a可以是什么数？（3）2a>a，则a可以是什么数？分析：∵2a=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，2a=2()a-，那么-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a=a，所以a≥0；（2）因为2a=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时2a=a，要使2a>a，即使a>a所以a 不存在；当a<0时，2a=-a，要使2a>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例9.当x>2，化简2(12)x-．x--2(2)例10．先化简再求值：当a=9时，求a+2-+的值，12a a甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2-=a+（1-a）=1；(1)a乙的解答为：原式=a+2-=a+（a-1）=2a-1=17．(1)a两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．变式题1．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题2．若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。

（答案：10-x) 例11．计算 （1）5×7（2）13×9（3）9×27（4）12×6分析：直接利用a·b＝a b（a ≥0，b ≥0）计算即可．解：（1）5×7=35（2）13×9=193⨯=3（3）9×27=292793⨯=⨯=93（4）12×6=162⨯=3例12 . 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯（4）229x y （5）54分析：利用a b=a·b（a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916⨯=9×16=3×4=12（2）1681⨯=16×81=4×9=36（3）81100⨯=81×100=9×10=90（4）229x y=23×22x y=23×2x×2y=3xy （5）54=96⨯=23×6=36例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83解：（1）不正确．改正：(4)(9)-⨯-=49⨯＝4×9=2×3=6 （2）不正确．改正：12425×25=11225×25=1122525⨯=112=167⨯＝47变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a1a-的结果是（）．变式题3：1014=_______．√169×6变式题4：一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2，x=3030⨯×2=302．变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）223=223+验证：223=22×23=2223⨯=332(22)233-+==3222222222(21)221212121--+=+----=223+（2）338=338+验证：338=23×38=338=3233331-+-=222223(31)33(31)3313131-+-=+---=338+同理可得：44441515=+ 55552424=+，…… 通过上述探究你能猜测出： a 21a a -=_______（a>0）,并验证你的结论．解： a 21a a -=21aa a +- 验证：a 21a a -=322211a a a a a ⨯=-- =33222111a aa a a a a a a -+-=+---=222(1)11aa aa a -+--=21a a a +-.例14．计算： （1）123（2）3128÷ （3）11416÷ （4）648分析：上面4小题利用a b=a b（a ≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1）123=123=4=2（2）3128÷=313834282÷=⨯=⨯=3×=23（3）11416÷=111164164÷=⨯=4=2（4）648=648=8=22例15．化简： （1）364（2）22649b a （3）2964x y （4）25169x y分析：直接利用a b=a b（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（1）364=33864=（2）22649b a =2264839b baa = （3）2964x y =293864x x y y=（4）25169x y =25513169x x yy =例16．已知9966x xx x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 分析：式子ab=a b，只有a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x ）(4)(1)(1)(1)x x x x --+-=（1+x ）41x x -+ =（1+x ）4(1)x x -+=(1)(4)x x +-∴当x=8时，原式的值=49⨯=6．变式题1.计算112121335÷÷的结果是（ ）． 变式题2.阅读下列运算过程：1333333==⨯，225255555==⨯ 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简26的结果是（ ）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么y z x y ÷的最后结果是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 解：设：矩形房梁的宽为x （cm ），则长为3xcm ，依题意，得：（3x ）2+x 2=（315）2，4x 2=9×15，x=3215（cm ）， 3x ·x=3x 2=13543（cm 2）．变式题5.计算 （1）32nn m m ·（-331n mm ）÷32n m（m>0，n>0）（2）-3222332m n a -÷（232m n a +）×2a m n- （a>0）解：（1）原式＝-4252n n mm ÷32n m=-432522n n mm m n⨯=-3222n n n n n m m m m ⨯=-⨯=-23n nm（2）原式=-22223()()2m n m n a a a m nm n +-⨯⨯+-=-2232a =-6a例17.把它们化成最简二次根式：(1) 5312; (2)2442x y x y +; (3)238x y点评：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．BAC解：因为AB 2=AC 2+BC 2所以AB=222.56+=2516916913()362424+====6.5（cm ）因此AB 的长为6.5cm ．例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1，132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2，同理可得：143+=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121++132++143++……120022001+）（2002+1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1）=（2002-1）（2002+1） =2002-1=2001 练习： 一、选择题 1．如果xy（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A ．xy（y>0） B ．x y（y>0） C ．x y y（y>0）D ．以上都不对 2．把（a-1）11a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A ．1a - B ．1a - C ．-1a - D ．-1a-3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A ．53=315B ．12=±122C ．4a b=a 2bD ．32x x -=x 1x -4．化简3227-的结果是（ ）A ．-23B ．-23C ．-63D ．-2二、填空题 1．化简422x x y +=_________．（x ≥0） 2．a21a a +-化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题 1．已知a 为实数，化简：3a --a1a-，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程： 解：3a --a1a-=aa--a ·1aa-=（a-1）a-2．若x 、y 为实数，且y=224412x x x -+-++，求xy x y +-的值． 答案:一、1．C 2．D 3.C 4.C 二、1．x22x y + 2．-1a --三、1．不正确，正确解答：因为3010a a⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，原式＝2a a --a ·2a a -=a-·2a -a ·2a a-=-aa-+a-=(1-a)a-2．∵224040x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴221634164x y x y x y +-=-=-=.例20.计算 （1）8+18（2）16x+64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）解：（1）348-913+312=123-33+63=（12-3+6）3=153（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5=43+25+23-5=63+5例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23x y）-（x21x-5x yx）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=12，y=3原式=293xx+y23x y-x21x+5xy x=2x x+x y -x x+5x y=xx+6x y当x=12，y=3时， 原式=12×12+632=24+36练习： 一、选择题 1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．三、综合提高题1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（6x yx +33x yy）-（4x xy+36xy），其中x=32，y=27．答案:一、1．C 2．A二、1．1753a323aa2．6b-2a三、1．原式=45-355-455-1255=155≈15×2.236≈0.452．原式=6x y+3x y-（4x y+6x y）=√xy(3-4x/y)=12.5√2例23．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值． 解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35x 2=35 x=35所以35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米．PQ=2222245535P B B Q x x x +=+==⨯=57答：35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为57厘米．例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得 AB=22224220A D B D +=+==25BC=222221B D C D +=+=5所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2=35+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．例24．若最简根式343a b a b -+与根式23226a b b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式23226a b b b -+不是最简二次根式，因此把23226a b b b -+化简成|b|·26a b -+，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ． 解：首先把根式23226a b b b -+化为最简二次根式：23226a b b b -+=2(216)ba -+=|b|·26ab -+ 由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．52B ．50C ．25D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A ．13100B ．1300C ．1013D ．513二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题 1．若最简二次根式22323m -与212410n m --是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22反之，3-22=2-22+1=（2-1）2∴3-22=（2-1）2∴322-=2-1求：（1）322+； （2）423+；（3）你会算412-吗？(√3-1)（4）若2a b ±=m n ±，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 答案: 一、1．A 2．C 二、1．2022．2+22三、1．依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，223m n ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩所以223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或223m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 或223m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 或223m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩2．（1）322+=2(21)+=2+1（2）423+=2(31)+=3+1（3）412-=2423(31)-=-=3-1 （4）m n amn b+=⎧⎨=⎩ 理由：两边平方得a ±2b=m+n ±2m n所以a m n b mn =+⎧⎨=⎩例25．计算: （1）（6+8）×3（2）（46-32）÷22分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3=18+24=32+26解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22=23-32例26．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65=13-35（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3 例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，化简11x x x x+-+++11x x x x+++-，并求值。