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上 海 海 事 大 学 试 卷
2011 — 2012 学年第二学期期末考试
《 高等数学B （二）》（A 卷）
（本次考试不得使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
1、设y
x
z arctan =，则2222y z x z ∂∂∂∂+=（ ）
(A)
4222
xy
x y ()+ ;
(B)
-+4222xy
x y ();
(C) 0
;
(D)
2222
xy
x y ()
+ 2、旋转抛物面122
2-+=y x z 在点)2,1,1(-处的法线方程为（ ）
（A ）1241
21
--=+=-z y x ; （B ）12
4121--=-+=-z y x ; （C ）124
1
2
1--=+=
--z y x ; （D ）1
2
4121--=-=-+z y x .
3、设函数2
2
y x z -=，则（ ）
（A ）函数z 在点(,)00处取得极大值;
（B ）函数z 在点(,)00处取得极小值; （C ）点(,)00非函数z 的极值点;
（D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点.
--------------------------------------------------------------------------------------装
订
线------------------------------------------------------------------------------------
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4、
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，下列命题中错误的是（ ）
(A) 如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (B)如果1lim 1
>+∞→n n n u u ，则∑∞
=1n n u 发散;
(C)如果1lim
1
<+∞→n
n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (D)如果11>+n n u u ，则∑∞
=1n n u 发散.
二、填空题（将正确答案填在横线上）
(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
1、),,(z y x f =z y
x
1
)(,则)1,1,1(df =
2、D ：12
2
≤+y x ，则σd e D
y x ⎰⎰+2
2
=
3、满足方程⎰
+
=x x
t t y e y 0
d )(的特解=y
4、已知)1,2,2(),1,2,1(),1,1,1(),1,3,2(---D C B A ，则通过点A 且垂直于 B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是
三、 计算题（必须有解题过程）
（本大题分10小题，共 68分）
1、(本小题7分)
设f x y (,)有连续偏导数， )]},(,[,{)(,3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(21x x f x f x f x f f f =='='=ϕ，求
ϕϕ(),()11'。

2、 (本小题6分)
设}1,3,1{},1,1,2{-=-=b a
，求与b a
、均垂直的单位向量。

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3、(本小题8分)
计算二重积分
σd y x D
)(+⎰⎰其中D ：|x |+|y |≤4
4、(本小题8分)
试求曲面z =x 2+y 2含于球面x 2+y 2+z 2=12内部部分曲面的面积。

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5、(本小题5分)
利用比较判别法判别级数∑∞
=-+1
1
2)1
2(
n n n n 的敛散性.
6、(本小题5分)
讨论∑∞
=>⎪
⎭⎫
⎝
⎛+1)0(1n n
a n an 的敛散性.
7、(本小题8分)
试将函数()3
11x x
y -+=展开为x 的幂级数，并计算∑∞
=-1122
n n n 之和.
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8、(本小题8分)
求微分方程''-'=y y 2
0满足条件y y x x ==='
=-0
01,的特解。

.
9、(本小题7分)
曲面S
1=，求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。

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10、(本小题6分)
设(
)u f x y z
=++ln 222
有二阶连续偏导数，且满足方程
(
)
∂∂∂∂∂∂2222222223
2u x u y u
z
x y z ++=++-
，求函数
u 。