数列经典解题思路求通项公式一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211 （3）,52,21,32,1解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ D ） (A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n na ab ，求数列{}n b 的通项公式。

)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

)(52N n n a n ∈+=点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

n a =32)1(+-n n四、叠乘法 例：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

n a n 1=点评：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、Sn 法利用1--=n n n S S a (n ≥2)例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和sn 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n 。

（2）12-=n s n ∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

数列求和方法： 1. 公式法：等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an ×q)/(1-q) (q ≠1) 2.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 3.倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a1+an)Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 前后相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1 5.裂项法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n 项和.此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

7.通项化归先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n 项和。

此时先将an 求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n方法一：（并项） 求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n] 高考例题1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（B ） A.21 B. 22 C. 2 D.2 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a qa q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =,故211222a a q ===,选B 2.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.3.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 ( B ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S等于 (A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 .【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,. 选C 5.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 C 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63解: 172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C.6.（2009福建卷理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于( C)A ．1B 53 C.- 2 D 3 [解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C .7.（2009辽宁卷文）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2 【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12【答案】B 8.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63SS =3 ，则 69S S =（A ） 2 （B ）73 （C ） 83 （D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ . 【答案】B 9.（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s = （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16解析：41a ，22a ，3a 成等差数列，22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,选C.10.（2009四川卷文）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190 【答案】B【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100 11.（2009湖北卷文）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],215+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B【解析】可分别求得5151+-=⎪⎪⎩⎭，51[1+=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.14.（2009重庆卷文）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n +D ．2n n +【答案】A解析设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+，解得12d =或0d =（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+15.（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由10nn a a +≥⎧⎨<⎩得20n =，选B 17.（2009四川卷文）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190 . 【答案】B【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100 二、填空题1.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。