高二《数列》专题1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ,已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a =两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2．等差等比数列（3)累乘法（n n n c a a =+1型);(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法(b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等4．数列求和（1)公式法；(2)分组求和法;(3）错位相减法;（４)裂项求和法；（5）倒序相加法。

5． n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中，有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解:(1)当0,01<>d a 时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数ｍ使得m S 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数ｍ使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题,常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +,则２０11是这个数列的 (ﻩB ) A.第10０６项ﻩﻩ ﻩB ．第1007项C ． 第1008项 D. 第1００9项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ,则10S 等于 （A ） A ．102３ B ．1024 C ．511 D ．５１２3.若{ａn ｝为等差数列，且a 7-2a 4＝-1，a ３=０,则公差d ＝( )Ａ.-2 B ．-错误! C.错误! D.2由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4=ａ5+a ３，∴2d ＝a 7－a 5=-1，即d =-错误!．故选Ｂ.4.已知等差数列{a ｎ}的公差为正数，且a 3·a 7＝－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( Ａ )A.180ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ B ．-１８0 C.９0ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩＤ．-90５.(20１0青岛市)已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ）ﻩA ．21-Ｂ．23-C.21ﻩD ．236.在等比数列{ａn }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=２43，则错误!的值为ﻩ（ )A.９ B ．1 C.２ Ｄ．3解析 由等比数列性质可知a 3ａ5a ７ａ9a 1１＝a 错误!=２43，所以得a 7＝3，又错误!=错误!=ａ７,故选D.7．已知等差数列{ａn }的前n 项和为S ｎ，a 1+a 5=错误!S ５，且a 9=20,则S 11＝( )Ａ.26０ B.2２０ C ．130D ．1１０解析 ∵Ｓ5=＼ｆ(a 1+a ５,2）×５,又∵错误!S ５=a 1+ａ5,∴a 1+ａ5=0.∴ａ３=０,∴Ｓ11＝错误!×11=错误!×11＝错误!×11=１10,故选Ｄ．８各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 错误!-a n －1－a n ＋1=0(n ∈N *,n ≥２），则S 2 ０09等于A ．0 ﻩＢ．２ C.2 009D ．4 018解析 各项均不为零的等差数列｛ａn }，由于a 错误!－a ｎ－1-ａn +1＝0（n ∈N *,ｎ≥2)，则a 错误!-2a n =0，a ｎ＝２,S 2 009=４ ０１８,故选D.９．数列｛ａｎ}是等比数列且a n ＞０，a 2ａ4＋2a ３ａ5＋a ４a 6=25,那么a ３＋ａ５的值等于Ａ．5 Ｂ．１0C ．15 ﻩＤ．20解析 由于a 2a 4＝a 错误!，ａ4a 6=ａ错误!,所以a 2·a 4+2a 3·a 5＋a 4·ａ６=a 错误!＋2a 3a 5＋a 错误!=(a 3+a 5）2=2５.所以a ３+ａ5＝±５．又ａｎ>0,所以a 3＋a 5=5．所以选A.10. 首项为１，公差不为０的等差数列{a ｎ｝中，a ３,ａ４,ａ6是一个等比数列的前三项,则这个等比数列的第四项是ﻩ( ） A.8 B ．-8 Ｃ.－6 Ｄ.不确定答案 B解析 a 错误!=a 3·a 6⇒(１+3d )2＝(1＋２d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒ｄ＝－1，∴a 3＝－1，ａ４=-2，∴q =２. ∴a 6=ａ4·q ＝-4，第四项为a 6·q =－8.1１.在△AB Ｃ中，tan Ａ是以-４为第三项,４为第七项的等差数列的公差，t ａn B 是以31为第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B ）A.钝角三角形 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩB.锐角三角形 C ．等腰三角形 ﻩﻩﻩﻩD ．非等腰的直角三角形12、（２０09澄海)记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =,且公差不为0，则当n s 取最大值时,=n （ ）ＣA.４或5B ．5或6 ﻩ Ｃ.6或７ﻩﻩ D ．7或８１３．在等差数列{ａn }中,前n 项和为S n ，且S 2 011＝-2 ０１１，a 1 007＝３，则S 2 012的值为ﻩﻩ( )Ａ．1 006 ﻩB ．-2 012 C ．2 ０１2D ．－1 006答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为a １，公差为d ，根据题意可得，错误!即错误!解得错误!所以，S 2 012=2 ０12a １＋错误!ｄ=2 ０1２×（－4 0２1)+2 012×2 0１1×2 =2 0１２×（4 ０22－4 021)＝20１2.方法二 由S 2 011＝２ 011(a １＋a 2 0１1)2＝2 0１1ａ1 ０06=-2 0１１, 解得ａ1 0０６＝-1，则S 2 0１2＝2 012(ａ1＋a 2 01２)２=错误!=错误!=２ 0１2.１4.设函数f （x )满足ｆ(n +１)＝错误!(n ∈Ｎ＊),且f （1)=2,则ｆ(２0）＝( Ｂ )A.95B.9７C.105D ．19２解析 f （n ＋１)=ｆ（n )+错误!,∴错误!累加,得f (20)＝f （1）＋(错误!+错误!+…+错误!)=f (1)+错误!=97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为(B ）A ．)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n nC. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确１6．一种细胞每3分钟分裂一次,一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时充满该容器,如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ） Ａ.15分钟ﻩ B ．３0分钟 C ．4５分钟ﻩ D.５7分钟 二、填空题1、等差数列｛a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝１，a 3=3，则S 4= ８.2．(２００８·广东理,２)记等差数列{ａn }的前n 项和为S n ,若a 1=21,S 4=20，则Ｓ6= . ４8 ３.．(20１0广州一模).在等比数列{}n a 中,11a =,公比2q =，若64n a =，则n 的值为 .7 4．（２008·海南、宁夏理,４）设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为Ｓn ,则24a S = . 2155．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若错误!＝错误!,则错误!＝________.答案 ＼f （1９9,2９９) 解析 错误!=错误!=错误!=错误!６、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解:（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴13n n a -=7.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，ａ2·ａ4=4，ａ１＋a 2＋a 3＝１４，则满足a n ·a ｎ+1·a n +2>错误!的最大正整数ｎ的值为＿_______.答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q ＞0，依题意得a 错误!=a 2·a 4＝4.又a 3>０，因此a３＝a 1ｑ2＝２，a 1＋ａ２＝a １＋a 1q =12,由此解得q ＝＼f(１,２)，a 1=8,a ｎ＝８×(＼ｆ(１，2））n -1＝２4－n ，a n ·a n +1·a n ＋2＝29－3ｎ.由于2-3=18>错误!，因此要使29-3n >错误!，只要９－3n ≥－３，即n ≤４，于是满足a n ·a ｎ+１·a ｎ+2>19的最大正整数n 的值为4.8．等比数列{a n ｝的首项为ａ1=１,前ｎ项和为Ｓn ,若＼f （S 10,Ｓ5)=错误!,则公比ｑ等于___＿____.答案 －12 解析 因为S 10S 5＝3132，所以错误!=错误!=-错误!，即q 5＝(-错误!)5,所以q ＝－错误!.三、解答题１(2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前ｎ项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ）令b ｎ=211n a -（n ∈Ｎ*),求数列{}n b 的前n 项和n T . 1【解析】（Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n ＝211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅,所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T ＝n4(n+1)。