(t f ) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
③哈密顿函数相对最优控制为极小值 H [ x* (t ), (t ), u* (t )] min H [ x* (t ), (t ), u (t )]
u ( t )
④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数
当 t f 固定时 H ( x* (t ), u* (t ), (t )) H ( x* (t f ), u* (t f ), (t f )) const 当 t f 自由时
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
说明： 1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。 2）极小值原理与用变分法求解最优问题相比，差别仅在于极 值条件。 3）非线性时变系统也有极小值原理。
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
例 3.2 重解例 3.1
0.307
t ( 4 . 37 e 1)dt 8.68
1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
END 谢谢
0 t 0.307
0.307 t 1
t 4 e 1 * x (t) t 4.37 e 0.5
0 t 0.307
0.307 t 1
t
1.72
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
u*
1
0 .5
1
0 0.307 1
t
6.44
u 受约束。 解：定常系统、积分型t f 固定，末端自由， 取哈密顿函数
H x u x u x1 1 u
1 1 u t 0.5 1
*
注：控制的切换点为λ(ts)=1
H 1 x
1
由协态方程 由边界条件
t

t cet 1
1 ce 1 0 c e
t e1t 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
ts 1 0 控制的切换时间： ts 0.307
控制的切换点处
ts e
满足下述正则方程: x (t )
H
(t )
H x
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
式中哈密顿函数
H ( x, u, ) T (t ) f ( x, u)
② x(t ) 及 (t )
满足边界条件
x(t0 ) x0
(t f )
二.自由末端的极小值原理
定理3-1：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束 的最优控制问题 min J (u ) [ x(t f )]
u ( t )
s.t.
x(t ) f ( x, u ),
x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
对于最优解和最优末端时刻、最优轨线，存在非零的n维向量函数 (t )使 ① x(t ) 及 (t )
① x(t ) 及 (t ) 满足下述正则方程:
x (t ) H
t [t0 , t f ], t f 未知
H x
(t )
式中哈密顿函数
H (x, u, λ) L( x, u) λ T (t )f (x, u)
② x(t ) 及 (t ) 满足边界条件
x(t0 ) x0
x(t f )
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
H ( x* , u* , ) min H ( x* , u, )
u ( t )
④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数 当 t f 固定时
H ( x* (t ), u* (t ), (t )) H ( x* (t f ), u* (t f ), (t f )) const
第三章 极小值原理及应用
3.1 连续系统的极小值原理 3.2 离散系统的极小值原理 3.3 时间最优控制 3.4 燃料最优控制 3.5 时间-燃料最优控制 小 结
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
一.问题的提出
用变分法求解最优控制时，认
为控制向量 u(t )不受限制。但是
实际的系统，控制信号都是受到 某种限制的。u(t ) U
当控制有约束时，H / u 0
* * * 不再成立，而代之为 H ( x (t ), u (t ), (t )) H ( x (t ), u(t ), (t )) u ( t )
极小值原理的重要意义：（P51) （1）容许控制条件放宽了。 （2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。 （3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。 （4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。
当
t f 自由时
H ( x* (tt*f ), u* (tt*f ), (tt*f )) 0
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。 但对于线性系统
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
，
a11 (t ) A(t ) an1 (t )
H ( x* (tt*f ), u* (tt*f ), (tt*f )) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
例3-2：x t x t u t x 0 5
0.5 u t 1 1 * * u 试求：J 时的 ， x x t u t dt J min 0
1ts 1 1

1 * u t 0.5
0 t 0.307
0.307 t 1
0 t 0.307
代入状态方程得
xt 1 t x xt 0.5
0.307 t 1
根据边界条件继续求出：
c1et 1 xt t c2e 0.5
④在最优轨线末端哈密顿函数应满足
* * * * H [ x* (t * ), ( t ), u ( t ), t f f f f] * [ x* (t * ), t f f]
⑤沿最优轨线哈密顿函数变化率
* * * *
t f
tf
H [ x (t ), (t ), u (t ), t ] H [ x (t f ), (t f ), u (t f ), t f ]
0
12.3
0.307
1
t
x* t
5
0
0.307
1
t
最优性能指标为：
1 *
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理

0
J x* t u * t dt
0.307

(4e 2)dt
t 0
例3-3： 做法与前面得一样，引入两个拉格朗日乘子向量，构造广义泛函 ，在满足末端约束条件下，泛函取得极值是等价的。 3、末端受约束的情况 定理3-4:（定常系统)(P68) 定理3-5:（时变系统)(P69) 4、复合型性能指标情况 定理3-6： 表3-1,3-2（P73-74）
哈密顿函数
， ，
H x(t ) (t )( x(t ) u(t )) (1 ) x(t ) u(t )
伴随方程
(t )
H (t ) 1 x
(1) 0
由极值必要条件，知
1 0 u sign 1 0
J xdt 2e1 1
0 1

t
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
二、极小值原理的一些推广形式 1、时变问题
定义：描述最优控制问题的相关函数显含时间，称为时变问题。 解决办法：引入新状态变量，将时变问题转为定常问题，利用定理 3-1。 定理3-2： min J (u ) [ x(t f ), t f ]
a1n (t ) ann (t )
b1 (t ) B (t ) bn (t )
最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
上述极小值原理与变分法主要区别在于条件③。
当控制无约束时，相应条件为 H / u 0 ；
定理3－2与定理3－1的区别：P61
t
H ( x, , u, ) d
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
2、积分型性能指标问题 定理3-3：
u ( t )
min J (u) L[ x(t ), u(t )]dt
t0
tf
s.t. x(t ) f ( x, u, t ), x(t0 ) x0
0 t 1
又
(t ) 1 e t 1 0
于是有
u (t ) 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
u (t )
协 态 变 量 与 控 制 变 量 的 关 系 图
，
(t ) x(t ) 1 x x(0) 1
x (t ) 2e 1
u ( t )
s.t. x(t ) f ( x, u, t ), x(t0 ) x0
① x(t ) 及 (t ) 满足下述正则方程:
x (t ) H
t [t0 , t f ], t f 未知
H x
(t )
T 式中哈密顿函数 H ( x, , u, t ) (t ) f ( x, u, t )
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理