u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
离散最优控制问题中，性能指标取为如下：
J = ∑ L [ x (k ), u ( k ), x (k + 1), k ] = ∑ Lk
k =0 k =0
k
N −1
N −1
（3-2）
式中 L = L [ x(k ), u(k ), x(k + 1), k ] 是第 k 个采样周期 内性能指标 J 的增量。
x (k + 1) = x (k ) − c
用迭代法求解上述差分方程，有：
x (1) = x (0) − c
x (2) = x (1) − c = c(0) − 2c
M
x( k ) = x(0) − kc
代入已知边界条件 x(0) = 1, x(5) = 0 ，解得：
c = 0.2
因此，该离散系统的最优控制与最优轨线 分别为：
λ (2) = 2 x(2) λ (1) = 2( x(1) + x(2)) λ (0) = 2( x(0) + x(1) + x(2))
因此： u (0) = − x(1) − x(2)
u (1) = − x(2) u (2) = 0
根据状态方程
∂u (k )
[定理3-8] 定理3 8]（关于离散系统末端状态自由） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
H x* (k ), u * ( k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ ( k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-17） 若控制变量不受约束，即u (k )可以在整个控制空 间 R m中取值，则极值条件为 ∂H (k ) （3-18） =0
式中 ψ (•) ∈ R r , r ≤ n
若 u * (k )是使性能指标（3-9）为最小的最优控 x 制序列，* (k )是相应的最优状态序列，则必存 在 r 维非零常向量 γ 和 n 维向量函数 λ (k ) ，使 u (k ) 、 * ( k ) 和 λ ( k ) 满足如下必要条件： x 得
（3-5）
……
可得离散泛函极值的必要条件：
∂Lk −1 ∂Lk ∂x(k ) + ∂x(k ) = 0 ∂Lk =0 ∂u (k )
（3-6）
以及
∂Lk −1 ∂Lk −1 δ x( N ) + δ x(0) = 0 ∂x (k ) k =N ∂x( k ) k =0
4
则原泛函在状态差分方程等式约束下的条件极 小问题化为广义泛函的无条件极小问题。这时：
1 2 Lk = u (k ) + λ ( k + 1) [ − x(k + 1) + x(k ) + u (k ) ] 2
1 2 Lk −1 = u ( k − 1) + λ (k ) [ − x(k ) + x(k − 1) + u (k − 1) ] 2
② x(k ) 和 λ ( k )满足边界条件
ψ [ x( N ), N ] = 0
∂ϕ [ x( N ), N ] ∂ψ T [ x( N ), N ] λ(N ) = γ + ∂x( N ) ∂x( N )
x(0) = x0
（3-14） （3-15） （3-16）
③ 离散哈密顿函数对最优控制 u * (k ) 取极小值
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态 x( N ) 自由。
x 若 u * (k )是使性能指标为最小的最优控制序列， (k ) 是相应的最优状态序列，则必存在 n 维向量函 x 数 λ ( k ) ，使得 u* (k ) 、 * (k )和 λ ( k )满足如下必要条件：
k =0 N −1
（3-4）
当不考虑式（3-1）所示的等式约束时，为了求得上 述离散拉格朗日问题的极值解，对式（3-4）取离散 一次变分：
T T ∂L T ∂Lk ∂Lk k δ J = ∑ δ x( k ) + δ u (k ) + δ x(k + 1) k = 0 ∂x ( k ) ∂u (k ) ∂x(k + 1) N −1
*
①x(k ) 和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (k + 1)
λ (k ) =
∂H (t ) ∂x( k )
式中离散哈密顿函数
H (k ) = H [ x(k ), u (k ), λ (k + 1), k ]
= L [ x(k ), u (k ), k ] + λ T (k + 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
② x(k )和 λ ( k )满足边界条件
x(0) = x0 ∂ϕ [ x( N ), N ] λ(N ) =
∂x( N )
③离散哈密顿函数对最优控制取极小值
H x* (k ), u * (k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ (k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-8） （3-9）
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态受下列等式约束限 制： ψ [ x( N ), N ] = 0 （3-10）
设式（3-1）和式（3-2）构成的离散最优控制 问题存在极值解，记为x* (k )和 u (k ) ，则在极值解 附近的容许轨线和容许控制可以表示为
*
x ( k ) = x* ( k ) + δ x ( k ) u (k ) = u * (k ) + δ u (k ) x(k + 1) = x* (k + 1) + δ x(k + 1)
1 离散欧拉方程
当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求 解离散系统的最优控制问题，得到离散极值的必 要条件——离散欧拉方程。 设描述离散系统的状态差分方程为：
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
（3-1）
式中 x(k ) 是离散时刻 tk 的 n 维状态；u (k ) 是 tk 的 m f 维控制向量； (•)是 n 维向量函数序列，对于等间 N 隔采样， = kT ， 为采样周期； 为数据窗口长度。 T k
极小值原理
离散系统的极小值原理
目录
离散欧拉公式 离散极小值原理
随着数字计算机日益普及，计算机控制系统日 益增多，因此，离散系统最优控制问题的研究 显的十分重要，其原因是，一方面许多实际问 题本身就是离散的，另一方面，即时实际系统 是连续的，但为了对连续系统采用计算机控制， 需要把时间整量化，从而得到一离散化系统。
*
① x(k )和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (பைடு நூலகம் + 1)
（3-11） （3-12）