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考研数学:夹逼准则的推论

考研数学:夹逼准则的推论
夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一,适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。

在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容,其考查方式多样,需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧,同时也要会使用并证明夹逼准则的推论:无穷小量乘以有界量仍为无穷小量,下面重点讲解该推论的证明及应用。

一、夹逼准则(函数):如果
(1)当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时,
()()();
g x f x h x ≤≤(2)0lim ()x x g x A →=,0lim ()x x h x A →=,则0
lim ()x x f x →存在,且等于A 。

此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小,且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。

夹逼准则的关键在于,找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ,使得()()()g x f x h x ≤
≤。

二、夹逼准则的推论:无穷小量⨯有界量=无穷小量
即0lim ()0x x f x →=,且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时,存在0M >,使得()g x M ≤,则
0lim ()()0x x f x g x →=。

证明:由条件可得
()()()
f x
g x M f x ≤即()()()()M
f x f x
g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=,故0
0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==,由夹逼准则可得0lim ()()0
x x f x g x →=例:求极限201lim sin x x x
→分析:由于0x →时,2x 为无穷小量,1sin
x 的极限虽然不存在,但1sin 1x ≤,因此为有界量,根据推论可得该极限为0。

解:由于20lim 0x x →=,且1sin 1x ≤,所以201lim sin 0x x x →=。

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