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高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
所以
1 x lim(1 ) e . x x
1 , x t 0, 所以 x 1
令 t
lim(1 t ) t e .
t 0
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
3 x 例9 求 lim(1 ) . x x
第 一 章 函 数 极 限 连 续
解
x 1 3 3 3 3 (lim ) 原式 lim[(1 ) ] x x x 3 x (1 ) 3 x 1 3. e
两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x 1 证明 lim 例4 x 0 x 证 先证 lim sin x 1. x 0 x 设单位圆圆心为O, 圆心角AOB x , (0 x ) 2 得高为AC的ACO,面积为S1 作单位圆的切线, C
圆心角为x的扇形OAB,面积为S2 , 高为BD的OAB, 面积为S3 ,
lim (1
1 x 1 t 1 t t 1 ) lim (1 ) lim ( ) t t x t 1 t 1 t 1 t 1 1 1 lim ( ) lim (1 )t lim (1 ) e. t t t t t t
3 x 2x ) . 例10 求 lim( x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) x x2 x2
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e2 .
第六节
极限存在准则
两个重要极限
例11
第 一 章 函 数 极 限 连 续
ln(1 x) . 求 lim x 0 x ) 原式 limln(1 x
例5 解
第 一 章 函 数 极 限 连 续
例6 解
tan x . 求 lim x 0 x tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x tan x lim 1 1 x 0 x 1 cos x 求 lim . 2 x 0 x x 2 x 2 x sin sin 2sin 1 1 2 lim 2 )2 2 lim( 原式 lim x 0 x2 2 x0 x 2 x0 x 2 ( ) 2 2 1 2 1 1 cos x 1 . 1 lim 2 2 x 0 2 x 2
第六节
极限存在准则
n
两个重要极限
例2
证
第 一 章 函 数 极 限 连 续
证明 lim n n 1. 显然 1 n n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 nhn hn 2 n( n 1) 2 hn 2 2 2 n hn n 1 即 n1 n1
x 0
解
1 x
令u(1 x)
1 x
limln u ln e 1
u e
例12
ln(1 x) lim 1. x 0 x ex 1 . 求 lim x 0 x
令 u e x 1
解
原式
u lim 1 u 0 ln(1 u )
ex 1 lim 1. x 0 x
1 n2 n
).
由夹逼定理得 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
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n 1 1 n 2 , 解 2 2 2 n n n 1 n n n 1 n 1 又 lim lim 1, 2 n 1 n n n 1 n n 1 1, lim 2 lim n n 1 n 1 1 2 n
B
sin x BD, x 弧AB, tan x AC ,
且
x o D
A
S3 S2 S1 ,
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
由于
x 0
lim cos x lim 11
x 0
第六节
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两个重要极限
第六节
第 一 章 函 数 极 限 连 续
极限存在准则
两个重要极限
sin x 一 夹逼准则和重要极限 lim 1 x 0 x
1 x 二 重要极限 lim(1 ) e x x
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第六节
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两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x 1 一 夹逼准则和重要极限 lim x 0 x 定理1 设 (1) 存在 0, 使当 0 | x x | 时,有
所以 lim f ( x ) A.
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
对于自变量其他的趋向过程下的极限, 也有类似 的定理, 例如夹逼准则的数列形式是:
第 一 章 函 数 极 限 连 续
定理2
如果数列 x n , yn 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn ( n N , N 为某个正整数) (2) lim yn a , lim zn a ,
n n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim xn a . n 定理1和定理2称为夹逼准则. 注意: 夹逼准则不仅可以用来判别极限的存在性, 还可以用来求极限.
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
例1
第 一 章 函 数 极 限 连 续
求 lim(
n
1 n2 1
1 n2 2
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
arcsin x . 例7 求 lim x 0 x arcsin x 令uarcsin x u 解 lim lim 1 x 0 u 0 sin u x
arcsin x lim 1 x 0 x arctan x 同理 lim 1 x 0 x sin 2 x . 例8 求 lim x 0 sin 3 x sin 2 x sin 2 x 2 x 3 x 2 lim lim( ) . 解 x 0 sin 3 x x 0 2 x 3 x sin 3 x 3
| h( x ) A | , 即 A h( x ) A 取 min{ , 1 , 2 }, 当 0 | x x0 | 时, 恒有 A g( x ) f ( x ) h( x ) A
即恒有
x x0
| f ( x ) A | ,
时, 极限仍然存在, 且等于 e.
1 x ) e. 例8 证明 lim(1 x x 1 x 证 先证 lim (1 ) e . x x 不妨设 x 1, 取 n [ x], 由于 n x n 1, 所以
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 1 1 1 1 1 n1 x n
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n 1 x 1 n 1 (1 ) (1 ) (1 ) , n1 x n
由于 x n , 而
1 n 1 1 n 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x n n x n 1 n 1 n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x n1 n1 n1
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n
记 hn n n 1, 则
所以
2 ) 1, 因为 lim(1 n n 1
所以 lim n n 1.
n
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x x
例3 求极限 lim (1 x 2 x 3 ) .
x
第 一 章 函 数 极 限 连 续