四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2

(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
元素的全排列（或排列），也称为一个n 元(级)排列. n个不同的元素的所有排列的种数，通常 n A 用 n表示. 3 A 由引例 3 3 2 1 6.
n A 同理 n n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
t ( j1 j2 jn )是排列 j1 j2 jn 的逆序数 . 即
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
§1.2 n阶行列式的定义
一、全排列及逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
t 1243
1 a11a22a33a44 1 a11a22a34a43
1t a11a22a33a44 x 3 ,
1t 1243 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
补充：[*] (1) 取自不同行不同列元素乘积 a1 j a2 j ...... anj (一般使行标为自然排列).
1 2 n
(2) 符号：列标为偶排列则为+；否则为—。 (3) 代数和(对所有排列而言)。
例 1 下三角行列式
a11 a 21 a 31
0 a 22 a 32
0 0 a11a22 a33 a 33
2. a14 a21a33 a44 和a12 a43 a31a24是否为四阶行列式中的 项，
若是，指出应冠以的符号 3.计算n 阶行列式
1 1 1
1.（1）i = 4, k = 3时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列； （2）i = 3, k = 4时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
对换 相邻对换 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性.
例 3 排列53142 经对换1与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
1 1 1 ( 1)
n( n 1) 2
3.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n1 nn 1n 2321 n 2
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(1)
t ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D (1)
t ( p1 p2 pn )
a p1 1a p2 2 a pnn
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组 的需要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
定义
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
定义 由 n2 个数组成的数表， 记成
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n ... a nn
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 ...... anj n
其中 j1 j2 jn是 1， 2， ，n 的一个排列， 项的代数和，
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
*自然排列1 2 …… n
所以是偶排列. 的逆序数t为0 ，
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
例1
求排列32514的逆序数.
a11 0 0
对0 0 ... ann
例2 下三角行列式 上三角行列式
a11 a 21 an1
0 a 22 an 2
... ...
0 0
a11a22 ann
... a nn
a11 0 0
a12 ... a1 n a22 ... a2 n 0 ... ann
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和.
三阶行列式可以写成
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 23
a 23 (1) a 33
a13
t ( j1 j 2 j 3 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
. 其中j1 j2 j3是1， 2， 3的一个排列 , t ( j1 j2 j3 )是排列 j1 j2 j3 的逆序数