bm

零矩阵：元素都是零的矩阵 记作O。
12
a11 a12 L
上三角矩阵：形如

0
a22 L
L L L

0
0L
a1n
a2n

的方阵
L
ann

a11 0 L
下三角矩阵：形如

a21
L
a22 L
L L

an1
an 2
L
0
0 L
的方阵
ann
线性运算
24
三. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法)
引例 设变量 x1, x2 , x3 到变量 y1, y2 的线性变换为

y1 y2

a11x1 a21x1
a12 x2 a13x3 a22 x2 a23x3
变量 t1, t2到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为

98

89
90 90
87 86
72
98

97 84 75 87


85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
有多少个？它们都 相等吗？
A (a1, a2 , L , an )
b1
B


b2

M
1 0 L 0
如：单位矩阵
En


0
M
1 M
L
0

M

0
0
L
1

对应的线性变换为
y1 x1

y2 L
x2
称为恒等变换
yn xn
18
再如: 线性变换
y1 1 x1 ,

y2

2

x2
,
yn n xn .
对应n阶系数矩阵为
1 0 L 0
A


0
2
L
0

M M
M

0
0L
n

是一个对角矩阵。
也就是说，线性变换和系数矩阵是一一对应的。
19
§2 矩阵的运算
背景: 矩阵之所以有用,不在于把一组数能排成矩形 数表,而在于能进行有实际意义的运算。
一. 矩阵的加法
定义2.1 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A
实际上，一阶矩阵就是一个数。
(3)若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这 两个矩阵是同型矩阵，否则称为非同型矩阵。
(4)若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元 素也相等，则称这两个矩阵相等。
9
矩阵应用举例：
例1：把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来
城市2
城市1
城市4
城市3
解:设 aij 10,，从从城城市市ii到到城城市市jj有没一有条航航线线（1 i，j 4）
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)按一 定次序排成 m 行 n 列的矩形数表
a11 a12 L

a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a2n

L
amn
Amn
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)m×n
定义2.3 设A=(aij)ms，B=(bij)sn ，那么规定矩阵A与
B的乘积是C=(cij) m n,
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1
并把此乘积记作C=AB。
a11


ai1


a
m1
a12 ai2 am2
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
E


0
1
L
0

M M O M

0
0
L
1

特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
x1 x2

b11t1 b12t2 b21t1 b22t2
x3 b31t1 b32t2
那么，变量 t1, t2到变量 y1, y2 的线性变换应为



y1 y2

a11 a21
b11t1 b12t2 b11t1 b12t2
例如:


diag
(1,
2,
3)


0
2
0 是一个三阶对角矩阵
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0

0
5
0
0

就是一个数量矩阵
0 0 5 0

0
0
0
5

也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A


a21
a22
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。

am1
am 2
L
a1n
a2n

L
amn

可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换
23
例2ห้องสมุดไป่ตู้
设
4
A


2
3 0
1
5

,
B


1 1
2 0
0 3
求 A－3B
解：
3 6 0
3B


3
0
9

4 3 1 3 6 0
A

3B


2
0
5


3
0
9



1 5
9 0
1
4

说明：矩阵的加法运算和数乘运算统称为矩阵的
1
§1 矩阵的概念
背景： 数的发展：自然数 整数 有理数
实数 复数 对于这些数一般用集合的观点讨论,通常只 是研究它们的一些运算法则和运算规律。例 如加、减、乘、除等。
2
在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围 有关。
如求方程 x2 1 0 的根，
此方程不仅在有理数范围内无解，就是在实数范围 内也无解，只在复数范围内有解。
b12 b22 b32




a11b11 a21b11

a12b21 a22b21

a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12

a22b22

a23b32

按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义。 由此推广得到一般的定义：
27
第一章 矩阵
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代 数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题 都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。 例如 ：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和 单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的 由数形成的矩形数表—矩阵及其运算。
1.1 矩阵的概念 1.2 矩阵的运算 1.3 可逆矩阵 1.4 矩阵的初等变换和初等方阵
定义2.2 数与矩阵A的乘积记作 A,规定为
a11 a12 L

A


a21
M
a22
M
L


am1
am 2
L
a1n
a2n

M

a
mn

数与矩阵相乘满足运算规律:
(1)()A (A)
(2)( )A A A
(3)( A B) A B
为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集 统一处理
下面引入一个一般的概念
3
定义1.1
设F是复数集C的一个子集合，如果F满 足下列两个条件： （1）0和1都在 F 中 （2） F 中任意两个数(可以相等)的和、差、积、 商（除数不为零）仍然在该集合中
则称集合 F 构成一个数域
例如: 有理数集、实数集、复数集都构成数域。 但整数集不构成数域。
加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (2) (A + B)+C= A +(B +C) .
(交换律) (结合律)
特别的: (3) A + O = O + A = A
(4) A + (-A) = (-A) + A = O
A是A的负矩阵
A (aij )mn
21
类似的，也可以定义矩阵的减法。
注意: （1）本书中涉及到的数都是指某个数域中的数 （2）若没有特别说明涉及到的数域一般是指实数域