第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12nλλλ= (1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xxxx x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010300200100 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式cc b b aa------1111111的值是 1 。

解cc b b a a ------1111111=111111a bbc c----=1010111ab c c--=1010101ab c =113. 行 列 式21000012100002100001200000121000012-------- 的 值是 27 。

解D =-------21122100120012112=⋅--⋅--321122112==327314.行列式n2222232222222221的值是 （-2）（n-2）！ 。

解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到120002002100022n --，然后再将第二行乘以（-1）分别加到其余各行的到对角矩阵10000200102n --=（-2）（n-2）！ 15.方程0221321321)(22=+-=x x x D 的解为2,2,1,14321-==-==x x x x 。

解：()D x =-2（x 2-2）（x 2-1）=016. 多项式nnn na x a x a x a x x f ++++=1111)(的次数最多是 n 次。

解：利用行列式性质517. 设A 是一个)2(>n n 阶行列式，且已知0≠=a A 。

将A 的每一列都减去其余各列，所得的行列式记作B ，则B ＝ a 。

18. 设A 为n 阶方阵，将A 的第一行与第二行交换，得方阵B ，则B A + = 0 ，B A - = 2A，B A + = 0 ，B A -=0 。

19.=1110110110110111-3解:应用化三角形法:=1110110110110111=--1110101011000111=---1100101011100111.33000210011100111-=-20．=--+---+---1111111111111111x x x x .4x解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:=--+---+---1111111111111111x x x x =-----+---111111111111xx x x x x x 1111111111111111-----+---x x x x=-----x x x x x x x 00000001111.00011142x xx x =--21．=1111....................110111********* 1(1)(1)n n ---解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:=01111....................110111********* =-01111....................110111*********)1( n =----1000 (00)1000001011111)1( n ).1()1(1---n n22. 已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .解：12A =121(1)42x +-=0得x=2，21A =2102(1)2x+-=423. 行列式12112100000000k k k k k k k n n n n---= i n i n k 11)1(=+∏-解：行列式按第一列展开得（-1）n+1nk 121000n k k k -=i ni n k 11)1(=+∏-24. 设αγββαγγβα=D ， γβα,,是方程03=++q px x 的三个根，则=D 0 。

25. 在多项式1111111111111)(23------=x x x x P 中，x 的一次项的系数为 4-解：x 的系数为13A =111111111----=-426. 设行列式,2235007022220403--=D 则第四行各元素余子式之和的值为 -28 .解: 设第四行各元素对应余子式分别为,,,,4321A A A A 则它们对应的代数余子式之和为=+++4321A A A A 28111222043)1(7111100702222040351-=---⨯-=---=D27．=---------aa a aa a a a a 1100110001100011000123451a a a a a -+-+-解: 按第一行展开,得递推关系式,并依次展开即得.==++--=+-= 323345])1)[(1()1(aD aD D a a aD D a D .15432a a a a a -+-+-28．=ab b a b a b a 000000 000000 1(1)n n n a b ++-解: 应用降阶法:按第一列展开,原式=+ab a a b a a 00000 00000 =-⋅+ba a b a b b n 00 (0000)0000)1(1.)1(1n n n b a +-+ 29 αββαβαβα000000 000000 =n D =22(1)22(1)(1)n n n n nn αβ-+--+-解：应用行列式展开定理,按第一行展开,降阶得00000 00000)1(00000. 0000000)1(1ββαββαβαββαβααα+-+-=n n n D n n n n n ββαβαβααα2)2)(1(12)1()1(0. 000)1(--+--+-=n n n n n n nβαα2)1(22)2)(1(2)1()1()1(-----+--=n n n nn n βα2)1(22)1()1(2-+--+-=30.nn x bb b ba ax bba a a x ba a a a x D (3)21== 11111()[()]n n n ji j j i i jxa a x a --===≠-+-∏∏∏解.利用拆行列式法,a a x x n n +-=)(,所以abb b ba ax bb a aa xb a a a a x ax b b b bax bba ax b a a a x D n n........ 000321321+-= ∏-=---+-=------+-=111332211)()(0000........ 00000000)(n j j n n n n n b x a D a x abbbbb x b x x a b x x a b x D a x(1)同样,由b a ,对称性得 ∏-=--+-=111)()(n j j n n n a x b D b x D(2)当b a ≠时,上两式联立解方程组得 ba a xb b x a D n j j n j j n ----=∏∏-=-=1111)()(若b a =,由(1)递推得 ∏∏∏-≠==-=-+-=11111)]([)(n ji i i nj n j j n a x a a x D二 选择题 1.1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）。

（A ）1-≠k ； (B) 3≠k ； (C) 1-≠k 且3≠k ； (D) 1-≠k 或3≠k 。

解：（k-1）2-4≠02.01110212=-kk的充分条件是（ B ）。

（A ）2=k ； （B ）2-=k ； （C ）0=k ； （D ）3-=k 。

解：k 2*1-2*2*1+1*（-2-k ）=03.下列（ C ）是偶排列。

（A ）4312； (B) 51432； (C) 45312； (D) 6543214.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为(D ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n 解：234…n1的逆序数为n-15.已知n 阶行列式A = 0...10 (10)1...1...1,122211,11211--n n a a a a a a， 则A =（ D ）。

（A ）1； (B) －1； (C) 1)1(--n ； (D) 2)1()1(--n n 。

6. 方程0881441221111132=--x x x 的根为（ B ）.（A ）1，2，3; （B ）1，2，-2; （C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.7.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么=1D （ D ）。

（A ）2M ； (B) －2M ； (C) 8M ； (D) －8M 。

解：行列式性质2，38.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，=1D 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么=1D （ B ）。