等比数列
知识梳理：
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q
推广：n m
n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=
⇔=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：
2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项
互为相反数）
（2）数列{}n a 是等比数列2
11n n n a a a -+⇔=⋅
4、等比数列的前n 项和n S 公式：
（1）当1q =时，1n S na =
（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
--
11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列
（2）等比中项：2
1111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列
（3）通项公式：()0{}n
n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列
6、等比数列的证明方法：
依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：
（1）当1q ≠时
①等比数列通项公式()1
110n n
n n a a a q q A B A B q
-==
=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；
②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q
q q q
--=
=-=-⋅=-----，系
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
（2）对任何*
,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当1m =时，便得
到等比数列的通项公式。
因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若*
(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
特别的，当2m n k +=时，得
2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n
k
a ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k a
b ⋅⋅，{}n n a b （k
为非零常数）均为等比数列。
（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*
()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列
（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列
（8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列
（9）①当1q >时，110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列
②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*
2()n n N ∈时，
1
S S q
=奇偶
二 例题解析
【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（ ）
A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
B ．
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
【例4】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2． 【例5】 求数列的通项公式：
(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0
三 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1、数列{}n a 满足()1123
n n a a n -=-≥，14
3a =，则4a =_________．
2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-
2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420
3
a a +=
，求{}n a 的通项公式． 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算
1、若公比为2
3
的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．
3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．
4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则
12
34
22a a a a ++的值为（ ）
A ．
1
4
B ．
1
2
C ．18
D ．1
5、等比数列{a n }中，公比q=2
1
且a 2+a 4+…+a 100=30，则a 1+a 2+…+a 100=______________.
考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用
1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）
A ．4
B ．
32 C ．16
9
D ．2 2、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ） A ．3b =，9ac = B ．3b =-，9ac = C ．3b =，9ac =- D ．3b =-，9ac =-
3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81
B
．C
D ．243
4、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ）
A ．98b a
B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．109b a
D ．10
b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
5、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程2
50x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ）
A ．25 B
． C
．-D
．±
6、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于
考点五：公式11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用
1、若数列的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n ，满足条件log 2S n =n ，那么{a n }是( ) A.公比为2的等比数列 B.公比为
2
1
的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
2、等比数列前n 项和S n =2n
-1，则前n 项的平方和为( ) A.(2n
-1)
2
B.
31(2n -1)2 D.3
1(4n
-1) 3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n
+r ，那么r 的值为______________.
4、设数列{a n }的前n 项和为S n 且S 1=3，若对任意的n ∈N *
都有S n =2a n -3n. (1)求数列{a n }的首项及递推关系式a n+1=f(a n ); (2)求{a n }的通项公式;
(3)求数列{a n }的前n 项和S n .。