等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q
推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=
⇔=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =
或
A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：
（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
-- 11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠⇔或
为常数，为等比数列
（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列
（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列
6、等比数列的证明方法：
依据定义：若()()*12,n n a
q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列
7、等比数列的性质：
（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n
k
a ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k a
b ⋅⋅，{}
n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列
（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列
（9）①当1q >时，110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列
②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*2()n n N ∈时，
1
S S q
=奇偶 二、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1、数列{}n a 满足()1123
n n a a n -=-≥，14
3a =，则4a =_________．
2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项
n a =______________．
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．
6- C ．8- D ．10- 2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420
3
a a +=，求{}n a 的通项公式．
考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算
1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为1
3
，则这个数列的项数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项
n a =_________________．
3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．
4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则
12
34
22a a a a ++的值为（ ）
A ．14
B ．12
C ．18
D ．1
考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用
1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）
A ．4
B ．32
C ．16
9
D ．2
2、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ） A ．3b =，9ac = B ．3b =-，9ac = C ．3b =，9ac =- D ．3b =-，9ac =-
3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ）
A ．81 B
．C
D ．243
4、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ）
A ．98b a
B ．9
b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．109
b a D ．10
b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
5、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的
值为（ ） A ．25 B
．C
．- D
．±6、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等
于
考点五：公式11,(1)
,(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用
1．等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )
A.(2n -1)2
B.31(2n -1)2
C.4n
-1 D.3
1(4n -1)
2. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +r ，那么r 的值为______________.
3．设数列{a n }的前n 项和为S n 且S 1=3，若对任意的n ∈N *都有S n =2a n -3n. (1)求数列{a n }的首项及递推关系式a n+1=f(a n ); (2)求{a n }的通项公式;
(3)求数列{a n }的前n 项和S n .
考点六：数列求和
方法：(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法
23n 1.1+2+3+2+5+2++[2-1+2]
2.{a }, a =+12, {a }n
3.{b }, b =(2-1)3, {b }n n n n n n n n n n n ⋅⋅求和（）（）（）（n ）已知数列（）求数列的前项和。

已知数列求数列的前项和。