《平面向量》综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k ,4k ）
B. (-10，2）
C. (54
,k k
-) D.（5k , -4k ）
3. △ABC 中,BC =a , =b ,则等于 ( )
+b (a+b )
4.化简
52(a －b )－3
1
(2a +4b )+152(2a +13b)的结果是 ( ) 5
1±51 B.0 C. 51a +51b D. 51a －5
1b
5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为
4
π
,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) B.15 C. 16
6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.109-
B.109
C.1019-
D.10
19 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是AB 边上的一个三等分点 D. P 是AC 边上的一个三等分点
8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的
4
1
,则线段AM 的长度是 ( )
259.设e 1,e 2是夹角为450
的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+
10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( ) .450
C
11.把一个函数的图象按向量a =(
3
π
,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y =sin(x +
6
π
)-2,则原函数的解析式为 ( ) =sin x =cos x =sin x +2 = -cos x
12.在△ABC 中，=c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形 C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形 D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC
,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2
+b 2
=0,则a =b =0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则
);2
,2(21
2121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |
④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,ABCD 是一个梯形
,//=, M 、N 分别是,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN
A
B
N
M
D
C
18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;
⑵试确定实数k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2共线.
19.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量的坐标.
20.已知△ABC 的三个顶点为A (1,2),B (4,1),C (3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P ,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标.
21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，a +λb 的模取得最小值.
22.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2),
b =(2sin x ,2
1
),c =(cos2x ,1),d =(1,2)。

（1）分别求a ·b 和c ·d 的取值范围；
（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集。

参考答案
一、1-5BCDBA ；6-10DDADB ；11-12BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h ,方向与水流方向的夹角为600
; －2b ; 16.①③④ 三、17.∵||=2||∴2=∴21
21==
a ,=
b －21a , MN =4
1a －b 18.⑴∵BD BC CD =+=5e 1+5e 2=AB 5 , ∴BD AB //又有公共点B,∴A、B 、D 共线 ⑵设存在实数λ使ke 1+e 2=λ(e 1+ke 2) ∴ k=λ且k λ=1 ∴k =1± 19.⑴由0=⋅可知⊥即AB ⊥AC
⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x y x ∵⊥ ∴5(x -2)+5(y -4)=0
∵// ∴5(x +1)－5(y +2)=0 ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
==2
527
y x ∴D(25,
27))2
3
,23(-= 20.⑴2
26
||),25,21()23,25(=--=∴CM CM M
⑵设P （x,y ）
44||22
,59||33
APQ APQ BPQC ABC S S AP AP AB S S AB ∆∆∆=∴=∴=∴= )1,3(32)2,1(-=
--∴y x )3
4,3(P ∴ 21. 当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，b ·(a
+λb )=0,∴λ= -2
a b
b | a +λb 22
2)()+-a b a b a 当λ= -
2
a b
b 时，| a +λb |取得最小值. ∴当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，a +λb 的模取得最小值. 22. (1）3≥a ·b =2sin 2
x +1≥1 3≥c ·d =2cos 2
x +1≥1
（2）∵f (1-x )=f (1+x ) ∴f (x )图象关于x =1对称 当二次项系数m >0时, f (x )在（1，+∞）内单调递增， 由f (a ·b )>f (c ·d )⇒ a ·b > c ·d , 即2sin 2
x +1>2cos 2
x +1
又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3(,)4
4
ππ
当二次项系数m <0时,f (x )在（1，+∞）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d)⇒ a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
3 [0,)(,]
44
ππ
π、
故当m>0时不等式的解集为
3
(,)
44
ππ
;当m<0时不等式的解集为
3
[0,)(,]
44
ππ
π。