课时练习（十五） 事件之间的关系与运算
A 级——学考水平达标练
1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发
D ．以上均不正确
解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件，
A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发．
2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
A ．恰有一名男生和全是男生
B ．至少有一名男生和至少有一名女生
C ．至少有一名男生和全是男生
D ．至少有一名男生和全是女生
解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( )
A ．0.62
B ．0.38
C ．0.70
D ．0.68
解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥
D ．A 与A 不可能互斥
解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B.
5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为4
5
，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以
P (B )＝1－P (A )＝1
5
.
答案：15
6.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是______．
解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命
中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
7．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：
(1)确定图中a 的值；
(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)． 解：(1)由题图可得0.01＋a ＋0.19＋0.29＋0.45＝1.00，所以a ＝0.06.
(2)设事件A 为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P (A )＝0.45＋0.29＋0.01＝0.75.
8．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A ＝{出现1点}，B ＝{出现3点或4点}，C ＝{出现的点数是奇数}，D ＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系； (2)求两两运算的结果．
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i ＝{出现的点数为i }(其中i ＝1,2，…，6)．则A ＝A 1，B ＝A 3∪A 4，C ＝A 1∪A 3∪A 5，D ＝A 2∪A 4∪A 6.
(1)事件A 与事件B 互斥，但不对立，事件A 包含于事件C ，事件A 与D 互斥，但不对立；事件B 与C 不是互斥事件，事件B 与D 也不是互斥事件；事件C 与D 是互斥事件，也是对立事件．
(2)A ∩B ＝∅，A ∩C ＝A ，A ∩D ＝∅.
A ∪
B ＝A 1∪A 3∪A 4＝{出现点数1或3或4}，
A ∪C ＝C ＝{出现点数1或3或5}，
A ∪D ＝A 1∪A 2∪A 4∪A 6＝{出现点数1或2或4或6}．
B ∩
C ＝A 3＝{出现点数3}，B ∩
D ＝A 4＝{出现点数4}． B ∪C ＝A 1∪A 3∪A 4∪A 5＝{出现点数1或3或4或5}， B ∪D ＝A 2∪A 3∪A 4∪A 6＝{出现点数2或3或4或6}．
C ∩
D ＝∅，C ∪D ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4∪A 5∪A 6＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．
9．玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红球、4黑球、2白球、1绿球，从中任取1球．记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝1
12
.求：
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率； (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率． 解：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋1
3＝34
.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112
.
B 级——高考水平高分练
1．(多选题)下列命题错误的是( ) A ．对立事件一定是互斥事件
B ．若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )
C ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1
D ．若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 互为对立事件
解析：选BCD 由互斥事件与对立事件的定义可知A 正确；只有当事件A ，B 为两个互斥事件时才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故B 不正确；只有事件A ，B ，C 两两互斥，且A ∪B ∪C ＝
Ω时，才有P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，故C 不正确；由对立事件的定义可知，只有事件A ，B 满
足P (A )＋P (B )＝1且A ∩B ＝∅时，A ，B 才互为对立事件，故D 不正确．
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为1
6.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事
件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )
A.13
B.12
C.2
3
D.
5
6
解析：选C 由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，
由概率的加法计算公式可得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝2
6
＋
2
6
＝
4
6
＝
2
3
.
3．某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
(1)求有4人或
(2)求至少有3人外出家访的概率．
解：(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
4．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝1
1 000
，
P(B)＝
10
1 000
＝
1
100
，
P(C)＝
50
1 000
＝
1
20
.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝
1
1 000
＋
1
100
＋
1
20
＝
61
1 000
.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P (E )＝1－P (A )－P (B )＝1－
11 000－1100＝9891 000
.
5．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A ，B ，C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝1
5，诸葛亮D 能答对题目的
概率P (D )＝2
3，如果将三个臭皮匠A ，B ，C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，
问哪方胜？
解：如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760＞P (D )＝2
3，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一
个诸葛亮；如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。