第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。

对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。

而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。

速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。

本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。

求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。

对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。

因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。

由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。

因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。

1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。

对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。

求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。

20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。

势流的迭加1) 绕圆柱的无环绕流 ϕϕϕ=+均偶 边界条件：0,0x V xyϕϕ∂∂→∞==∂∂ 00r r rϕ∂→=∂ 物面是一条流线 0ψ=200cos ()r V r r ϕθ=+ 200sin ()r V r rψθ=−速度分布 1,r V V rr θϕϕθ∂∂==∂∂ 002sin 0r r r V V V V θθ===−=压力系数 221214sin p p p c V θρ∞−==−作用力 R=0 阻力D=X=0 升力L=Y=0 2) 绕圆柱的有环绕流速度势函数：ϕϕϕϕ=++涡均偶200cos ()2r V r r ϕθθπΓ=+−流函数： 200sin ()ln 2r V r r ψθπΓ=−+压力系数： 20001(2sin )2P C V r θπΓ=−+速度环量： 202r 0πωΓ= 0r r =速度分布： 002sin 2V V V r θθπΓ==−−驻点位置： V=0处 000sin 4V r θπΓ=−驻点位置与Γ,的大小,方向有关. 0V 作用力： R ,0≠阻力： D=X=0, 升力：0L Y V ρ==Γ 2．库塔----儒可夫斯基条件为确定绕机翼剖面环流大小的边界条件.要求使翼剖面的尾缘点处速度为零或有限值。

3．布拉休斯公式前提：理想, 不可压流体, 平面、无旋、无分离流动。

在求出绕任意形状柱形体的复势w(z)后,可求得作用在该柱体上的合力和合力矩.2p (2ldW )X iY idz dzρ=−=∫v 2M Re{()}2ldW zdz dzρ=−∫v 上述积分可由复变函数中留数定理，即求沿包围物体的任意封闭曲线L 的2(dW dz以及2()dW z dz的积分,就得到物体受到的合力以及合力矩。

4．库塔----儒可夫斯基定理任意形状柱体在理想不可压缩流体中作平面、无旋、无分离、有环流流动时，物体上只受升力作用，阻力为零。

升力大小为： 0L V ρ=Γ升力方向：顺来流方向逆环流再旋转90o 。

由于在流动平面上，物体剖面上部和下部的流动不对称，从而压力不对称产生压力差，升力便是这一压力差；而在物体剖面前部和后部流动对称，从而压力对称，在x 方向相互抵消，故阻力为零。

二、重点，难点 重点：1、 平面势流问题求解的基本思想。

2、 势流迭加法3、 物面条件，无穷远处条件4、 绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、 四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、 麦马格鲁斯效应的概念7、 计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、 附加惯性力，附加质量的概念难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念三、例题1.如图6-1为无限大平板两侧为静止大气，压力为Pa, 在点(a,b)处有一强度为Q 的源，求 平板两侧的压力差所形成的合力。

解：取坐标如图6-1，位于点(a,b)处强度为Q 的源的速度势为：2Qϕπ=显然它所对应的流动在平板上壁面y=0现在对称位置上即点(a,-b)处置一等强度的源，（称为镜像源）迭加后的速度势为：ln 22Q Qϕππ=+ 求导后得平板上壁面上的速度分布为： 22,0()Qx au vx a bπ−==−+这样就满足了不可穿透条件，这种求解方法称为镜像法。

由无穷远到平板上任意一点列伯努利方程：212a p p u =+ 平板上、下壁面上任意一点的压力差为： 2221[]2()a Q x ap p x a bρπ−−=−−+ 平板上、下壁面上的压力差形成的合力为：2()4a Q F p p dx bρπ∞=−=∫2．求点汇和点涡的迭加，源强为Q ，涡强为Γ。

解： 迭加后有 ln 22Q r ϕθππΓ=+ ln 22Q r ψθππΓ=− 等流函数线： 1,QC r c e θψΓ−==等势线： 2,QC r c eθϕΓ==都为对数螺旋线3．均流和源的迭加，均流速度为U 0 ， 源强为Q 求：1）合成流动的速度分布 2）合成流动的驻点位置 3）过驻点的流线解： 1）迭加后有 02QU x ϕπ=+速度分布为：022222x y Q XQ yV U V x y 2x y x yϕϕππ∂∂==+==∂∂++ 2) 驻点位置1002y x V y Q V y x U π=====−，（）3) 过驻点的流线 102Q y U y tg c xψπ−=+= 驻点 102y Qy tg c xπ−==∴=过驻点的流线为： 1022Q y U y tg Qx π−+=头部为半圆型的半无穷长物体.4. 在平面直角坐标系的水平x 轴上x = + L 处布置强度为Q 的点汇，x = ⎯ L 处布置强度为Q 的点源，来流速度U=const.平行于x 轴，求：1）流场的流函数 2）物面形状 解：1)迭加后流场的流函数为：ψ=2)令0ψ=得：0=这个方程的解为：y=0,即与x 轴重合的直线，另一条为卵形曲线与y=0有两个交点，这就是前后两个驻点。

5．验证 2022a x V x x y ϕ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦为绕圆柱体的无环流动的速度势。

1） 0x V V ϕ∂→∞==∂xx2）222x y a +=处， 在物面上0nϕ∂==∂n V 22222002222211x y a x x y x V V x y x y ϕ⎡⎤⎡∂+−⋅=++⎢⎥⎢∂++⎣⎦⎣2222a （）a （）=x （）（）⎤−⎥⎦， 当可得：→∞x 0x V V ϕ∂==∂x上式分母的指数大于分子的指数，衰减的快。

在极坐标系下 cos sin x r y r θθ== 0cos V r ϕθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦2a r01cos n V V r n ϕϕθ⎡⎤∂∂===−⎢⎥∂∂⎣⎦2a r当r a ==时，0n V =满足不可穿透条件。

6．求如图6—2流动的速度分布与圆表面上的压力分布。

中部为半圆，左右至无穷远。

设圆的半径为r 0，无穷远处压力为p 0解： 根据定常运动中壁面可以和流线互换的原理，则这一流动同绕圆柱的无环绕流一样。

其速度势为：2002cos (r V r rϕθ=+所以速度分布为：2002cos (1)r r V V r rϕθ∂==−∂20021sin (1r V V r rθϕθθ∂==−+∂由伯努利方程：20V p V 20ρρ=+11p+22图6—2 物面上速度分布： 0002sin r r r r V V V θθ====−压力分布： 2200(14sin )p p V ρθ−=−127. 圆柱直径为D=1.2m ，长L=5m, 绕自身轴旋转，转速为n=90r/min,无穷远来流速度为80km/h, 空气密度为,求：1）环量 2）升力 3）驻点位置 31.025/kg m ρ=解：1） 902/603/,rad s ωππ=×=22221.32/,R m s πωΓ==2）2854,L U l N ρ=Γ= 3）sin 0.1272,4RUθπΓ=−=−187.31,352.69o o θ=8．圆柱半径为R=1m ，以2m/s 速度在水平面内中由左向右运动，圆柱本身自转所产生的环量 已知流体密度 2100/m s Γ=−31000/kg m ρ=求： 1) 驻点位置2) 圆柱所受的作用力解： 将坐标固结于圆柱体，来流自右向左，圆柱顺时针转动速度势： 20cos ()2R U r r ϕθθπΓ=−+−速度分布： 201sin (1)2R V U r r θϕθrθπ∂Γ==+−∂驻点：0r R V θ==02sin 02U RθπΓ−= 解出：20100 3.98sin 424RR RU θππΓ−===−×× 当才有解3.98R ≥ 2) 由升力定理501002100210/L v N ρ=Γ=××=×m升力方向：向下。

9. 某船舶如图6—3所示，已知U=15m/s,船上两个圆柱体铅直安装，直径同为2m,长10m,以 转速40r/min 顺时针旋转，已知空气密度为 1000kg/m 3,求：圆柱体给船舶的推力。

解：环量 222 4.5,RπωπΓ==3.14/rad s ω=推力 215989T U L N ρ=Γ=10．已知绕圆柱体流动的速度势20()co a V r rs ϕθ=+ ， 图6—3 求：作用于图6—4所示的半圆柱体上的合力。