极子迭加形成的流动。
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
1
2
V0rCos
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
流函数为： M sin 2 r
（６-12）
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
固体的力和力矩。
求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍 一个简单的方法： “迭加法”
迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调
和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始 条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数 就是所需要的解。
§６-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
vs 2 r
vr 0
（６－15）
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到 点涡的距离
采用极坐标来求φ和ψ
图 6-9
d
vr dr
vsrd
2
d
积分得速度势函数:
2
流函数
d
vsdr
vrrd
2 r
dr
积分得流函数： ln r
2
（６－16） （６－17）
流线：ψ＝const 同心圆
Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋
图 6-9
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶
M
2
x2
y y2
c
或
y x2 y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 ( y 1 )2 1
2c1
4c12
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
注意：
偶极子的轴线和方向
轴线：源和汇所在的直线
３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，
要求出ｐ，必须先求出速度V
４. 对于势流，存在速度φ，满足：
vx
x
,
vy
y
,
vz
z
（６-１）
V
vx2
v
2 y
vz2
(６-２)
５.φ满足拉普拉斯方程：
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
（６-３）
若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉
斯方程可以解出φ。
求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于
现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：
d
x
dx
y
dy
Vx dx
Vy dy
V0 dx
积分得势函数： V0 x
积分常数不起作用，可省去。
（６-4）
流函数的全微分：d
x
dx
y
dy
Vydx Vxdy
Vody
积分得流函数：ψ＝Voｙ
（６-5）
由（６-4） 和（６-5）有：
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
在直角坐标系下：
（６-6）
图6－5
Vx
x
y
在极坐标下：
Vyyຫໍສະໝຸດ xVrrs
1 r
Vs
s
1 r
r
（6－7）
采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：
d
(
r
dr
d )
Vr dr rVsd
Q
2 r
dr
d
(
r
dr
d )
VsdrrVrd
Q
2
d
Q 2
ln
r
Q 2
（６-8）
流线为θ＝const，为原点
图6－8(a)
这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。
用迭加法求φ和ψ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2
)
场点Ａ离源和汇的距离
r１≈r2＋δx cosθ１
Q ln r1 Q ln r2 x cos1
2 r2 2
r2
Q ln(1 x cos1 )
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得:
Q x cos1 2 r2
第六章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）
ｘ＝const，等势线
两组等值线相互正交
图6－3
例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。
图6－4
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ
Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程：
2πrVr ＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2πr
引出的 一组射线
等势线为ｒ＝const，流
线为同心圆,相互正交。
图6－6
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
图6-7
三、偶极子
无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δx→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即： Ｑδx→Ｍ （δx→０） (6-9)