第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。

求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。

如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。

这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。

一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。

等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线。

均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。

图６-4二、源或汇平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。

设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。

现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ２πｒｖｒ＝Ｑ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）在直角坐标中，有x y V yx V y x ∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=ψϕψϕ在极坐标中有：r r s V r s r V s r ∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=ψθϕϕθψψϕ11 （６-7） 极坐标中φ和ψ的全微分：θπψπϕθπθθθψψψπθθθϕϕϕ2ln 222Q rQ d Q d rV dr V d dr r d dr r Q d rV dr V d dr r d r s s r ===+-=∂∂+∂∂==+=∂∂+∂∂=（６-8）流线：为θ＝const ，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const ，就是和流线正交的一组同心圆。

由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点； 如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合，图６-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点。

源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩）， 渠道中理想流体的流动。

图６-7三、偶极子偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→Ｍ（δｘ→０） （６-9）则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。

用迭加法求φ和ψ。

)ln (ln 22121r r Q-++=πϕϕϕ 由图６-8 (ａ)所示： 121cos θδx r r +≈因此)cos 1ln(2cos ln 2ln 2)ln (ln 222222212121r x Qr x r Q r r Q r r Q θδπθδπππϕϕϕ+=+==-++=图６-8 (ａ)式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式将φ展开并略去δｘ二阶以上小量得当δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ。

其中ｒ,θ为Ａ点的极坐标，这样便可从 上式得到偶极子的速度势为（６-１0）直角坐标有222y x xM +=πϕ （６-11）对于流函数： )(2)(22121δθπθθπψψψQ Q =-++= 图６-8(ａ)三角形ＢＣＤ：ｒ２δθ＝δｘｓｉｎθ１，有21sin r x θδδθ=所以 2sin 2r x M θδπψ=ｎθｒ2当δｘ→０时，Ｑδx →Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ，所以rM θπψsin 2-= （６-12）直角坐标有 222y x yM +-=πψ （６－13）令ψ＝C 即得流线族： c yx yM =+-222π 或122c y x y=+即 0122=-+c yy x 配方后得 2121241)21(c c y x =-+ （６－14） 图６-１０(ｂ） ⋅⋅⋅⋅-+-=+32)1ln(32z z z z rM θπϕcos 2=21cos 2r x Q θδπϕ≈图6-8（b ）流线：圆心在ｙ轴上与x 轴相切的一组圆，如图６-１０(ｂ）中的实线。

流体是沿着上述的圆周，由坐标原点流出，重新又流入原点。

等势线：中心在ｘ轴上与ｙ轴相切的一组圆，并与ψ＝const 正交，如图６-8(ｂ）中的虚线。

偶极子是有轴线和有方向：源和汇所在的直线就是偶极子的轴线，由汇指向源的方向，就是偶极轴的方向，偶极子的方向是ｘ轴的负向。

四、点涡（环流）流场中坐标原点处有一根无穷长直涡索，方向垂直于平面ｘｙ平面，与ｘｙ平面的交点为一个点涡。

点涡在平面上的诱导速度沿着以点涡为中心的圆周的切线方向，大小与半径成反比，即02=Γ=r s v rv π （６－15）极坐标下： θπθϕd rd v dr v d s r 2Γ=+= 积分得:θπϕ2Γ=（６－16） 流函数 dr rrd v dr v v d r r s πθψ2Γ-=+-=积分： r ln 2πψΓ-= （６－17）流线：ψ＝const 就是ｒ＝Ｃ，即一组以涡点为中 心的同心圆， 如图６-9所示。

注意：Γ＞０对应于反时针的转动，Γ＜０对应于顺时针的涡旋。

图６-9 §６－３ 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 势流迭加法：均匀流、源汇、偶极子、点涡这样一些几种简单的势流，具有可迭加性。

将它们之中的两个或两个以上迭加起来，在用物面边界条件来控制，会获得有实际意义的结果。

绕圆柱体的无环流流动就是一个典型的实例。

理想流体的边界条件：1） 无穷远条件（远场条件）ｒ＝∞，==y x v v v θ或ｒ＝∞，sin cos r r v v v v θθθθ=-=2）物面条件（近场条件）：ｒ＝ｒ０，ｖｎ＝ｖｒ＝０ 称为不可穿透条件 零流线： ｒ＝ｒ０处ψ＝０是一条流线。

圆柱在静止无界流体中作等速直线运动 = 均匀流动+ 偶极子流动均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为：1202MCos v rCos rθϕϕϕθπ=+=+（ ６－18）1202MSin v rSin rθψψψθπ=+=-（６－19）观察ψ＝０这条流线，由（６－19）式，我们有： 0)2(0=-rMv Sin πθ 若ｓｉｎθ＝０，有θ＝０或π，因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴； 若ｖ０ｒ－Ｍ２πｒ＝０，020=-rMr v π 即ｒ２＝Ｍ２πｖ０，022v M r π=令2002r v M=π, 就有ｒ＝ｒ０， 即ｒ＝ｒ０的圆周也是ψ＝０的流线的一部分，如图６－１0所示。

验证边界条件，将2002r v M π=代入φ，有)(cos 200rr r v +=θϕ （６－２0） 速度)1(sin 1)1(cos 22002200rr v r v r r v r v r +-=∂∂=-=∂∂=θθϕθϕθ （６－21） 图６－１0当ｒ→∞，从上式可得θθθsin cos 00v v v v r -==当ｒ＝ｒ０时，ｖｒ＝0这就证明了均匀流和偶极子迭加的速度势，满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件，当ｒ≥ｒ０的流动与均匀流绕圆柱的流动完全一样。

设想把均匀流加偶极子的流动图案中ｒ＜ｒ０的那一部分去掉（不感兴趣），而在其中充实以一个ｒ＝ｒ０的圆柱体，对流场流动不会有任何影响。

圆柱表面上速度分布：ｒ＝ｒ０时：θθsin 200v v v r -== （６－22）负号表示其方向与s 坐标轴方向相反， 如图６-10驻点位置：Ａ，Ｃ两点θ＝π或０，ｖｓ＝０称为驻点或分流点。

对Ｂ，Ｄ两点： 022v v =±=θπθ （６－23）Ｂ，Ｄ两点：速度达到最大值，等于来流速度ｖ０之两倍，与圆柱体半径无关，Ｂ，Ｄ两点：速度增至２ｖ０，达最大值。

然后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时，速度又降至零。

离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时，再恢复为ｖ０。

圆柱表面上压力分布：运动是定常，设无穷远均匀流中的压力为ｐ０，忽略了质量力，拉格朗日方程222002v p v p ρρ+=+将园柱表面上速度分布代入，即得圆柱表面上压力分布 )sin 41(22200θρ-=-v p p （６－24）物面上的压力分布定义： 20021v p p C p ρ-=（６－25）由（６-24）式可得 θ4sin41-=p C （６-2６）压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴，见图６-１1（ａ）。

Ａ，Ｃ两点压力最大ｃｐ＝１Ｂ，Ｄ两点压力最小ｃｐ＝－３ （６－2７） 沿ψ＝０这条流线压力变化为：左方无限远处，ｃｐ＝０，流到Ａ点时压力为极大值ｃｐ＝１。

由Ａ点分为两支分别流向Ｂ，Ｄ点，压力逐渐减小为极小值ｃｐ＝－３。

流向Ｃ点时压力逐渐增大，Ｃ点达极大值ｃｐ＝１。

由Ｃ点流向右方无限远处，压力又再次减小，最后压力重新降至ｐ０，ｃｐ＝０。

（ａ）理想流体；（ｂ）真实流体图６-１1因为其压力分布对称于ｘ轴，显然合力在ｙ轴上的分力Ｌ（升力）为零；同样，因其压力分布对称于ｙ轴，故合力在ｘ轴上的分力Ｒ（阻力）为零，即升力Ｌ＝０阻力 Ｒ＝０ （６－2８）这一结果与实验结果有严重矛盾，称为达朗贝尔谬理。