数学期望的性质
利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =.
性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则
()()d E CX Cxf x x +∞-∞
=⎰()d C xf x x +∞
-∞
=⎰
().
CE X =
性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则
()()()E X Y E X E Y +=+.
证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和
()Y f y ,则
()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
+=+⎰
⎰
(,)d d xf x y x y +∞
+∞-∞
-∞
=⎰⎰
(,)d d yf x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
+⎰
⎰
()d X xf x x +∞
-∞
=
⎰
()d Y yf y y +∞
-∞
+⎰
()()E X E Y =+.
性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则
()()()E XY E X E Y =.
证明 因为
X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足
(,)()()X Y f x y f x f y =,
所以
()(,)d d E XY xyf x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
()()d d X Y xyf x f y x y +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
()d ()d X Y xf x x yf y y +∞
+∞-∞
-∞
=
⎰
⎰
()()E X E Y =.
性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,,
,n X X X 相互独立，则
1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。

例4.22 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
2
1(1)1,1,
(,)40x y x y f x y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩
，，其他.
试验证()()()E XY E X E Y =,但X 和Y 是不独立的.
解 因为
()(,)d d E XY xyf x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
1
1
2
111(1)d d 4
xy x y x y --=⋅-⎰
⎰0=， ()E X =
1
1
2
111(1)d d 4x x y x y --⋅-⎰⎰0=， ()E Y =112111(1)d d 4y x y x y --⋅-⎰⎰1
9=-，
所以()()()E XY E X E Y =
.
X
和
Y
的边缘概率密度
()X f x 和()Y f y 分别为
12
111(1)d 11,11()(,)d 42
00X x y y x x f x f x y y +∞
--∞
⎧⎧--<<-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰
，，，，其他，，其他， 12
1111(1)11(1)d ,11()(,)d 23
400,Y y y x y x y f y f x y x +∞
--∞
⎧⎧--<<--<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰
，，，，其他，其他，
由于
(,)()()X Y f x y f x f y ≠,因而X
和
Y 不独立.
例4.23 设i X ～n i p B ,,2,
1),,1( =，i X 的分布律为：
其中10<<
p ，且n X X X ,,,21 相互独立。

n X X X X +++= 21,求)(X E
解法1 由二项分布的定义知，X ～),(p n B ，因此，np X E =)( 解法2 由i X ～),1(p B 得p X E i =)(，由期望性质知
np p p p X E X E X E X X X E X E n n =+++=+++=+++= )
()()()()(2121
这一结论与直接计算一致。

注 利用性质来计算数学期望往往较有效，应该学会这种方法。

另外，应记住常用分布相应的数学期望。